Решение: Расстояние до меньшего основания
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Решение по шагам
7 шаговОбозначим основания трапеции через $a$ и $b$, где $a>b$, боковую сторону — через $c$, а высоту — через $h$. Так как в трапецию можно вписать окружность, суммы противоположных сторон равны. Поэтому
$$a+b=2c$$Из условия о периметре получаем
$$a+b+2c=200$$Совместно с равенством $a+b=2c$ имеем $a+b=100$ и $c=50$.
$$2c+2c=200,\quad c=50,\quad a+b=100$$Площадь трапеции равна 2000, поэтому её высота равна
$$S=\frac{a+b}{2}h,\quad 2000=\frac{100}{2}h,\quad h=40$$Опустим высоты из концов меньшего основания. В каждом из образовавшихся прямоугольных треугольников горизонтальная катета равна половине разности оснований. По теореме Пифагора
$$\left(\frac{a-b}{2}\right)^2+40^2=50^2$$Следовательно, половина разности оснований равна $30$, а разность оснований — $60$. Тогда
$$a-b=60,\quad a+b=100,\quad a=80,\quad b=20$$Точка пересечения диагоналей делит высоту трапеции на части, пропорциональные основаниям. Расстояние от большего основания до точки пересечения диагоналей равно $\frac{ah}{a+b}$, поэтому расстояние до меньшего основания равно
$$h-\frac{ah}{a+b}=\frac{bh}{a+b}=\frac{20\cdot40}{100}=8$$Расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания равно 8.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путать условие существования вписанной окружности с равенством оснований.
Использовать в формуле площади сумму оснований без деления на 2.
Взять расстояние от точки пересечения диагоналей до большего основания вместо меньшего.
Неверно определить отношение частей высоты, используя основания в обратном порядке.