Решение: Высота и окружность
Точка $H$ является основанием высоты $BH$, проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC$. Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $BH$, если $PK = 11$.
Решение по шагам
4 шагаВведём прямоугольную систему координат с началом в точке $B$, направив оси вдоль перпендикулярных сторон $BA$ и $BC$. Пусть координаты точки $H$ имеют вид $(x,y)$.
$$BH^2=x^2+y^2$$Окружность с диаметром $BH$ пересекает ось $BA$ в точке $P$, а ось $BC$ — в точке $K$. Поэтому координаты этих точек можно записать как $P=(x,0)$ и $K=(0,y)$.
$$PK^2=(x-0)^2+(0-y)^2=x^2+y^2$$Из полученных равенств следует, что длины отрезков $PK$ и $BH$ равны.
$$PK^2=BH^2 \Rightarrow PK=BH$$Так как по условию $PK=11$, получаем искомую длину высоты.
$$BH=11$$BH=11
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путают диаметр $BH$ с радиусом окружности.
Не учитывают, что стороны $AB$ и $CB$ перпендикулярны.
Неверно считают, что точки $P$ и $K$ совпадают с концами диаметра.