23
Решение: Биссектрисы углов трапеции
ОГЭ · Математика · Задание 23 · Четырёхугольники и многоугольники
ПовышеннаяФИПИ9599CFРазвёрнутое решение≈ 3 минутыРазбор в 4 шага
Условие
Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F$. Найдите $AB$, если $AF = 12$, $BF = 9$.
Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.
К подсказкамРешение по шагам
4 шага1
Основания трапеции параллельны, поэтому внутренние односторонние углы $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ supplementary:
$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$2
Угол $AFB$ образован биссектрисами углов $A$ и $B$, поэтому его величина равна:
$$\angle AFB = \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$$3
Следовательно, треугольник $AFB$ прямоугольный. По теореме Пифагора:
$$AB^2 = AF^2 + BF^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$$Находим длину стороны $AB$:
$$AB = \sqrt{225} = 15$$Ответ
$15$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Ошибочно считать угол $AFB$ равным половине разности углов трапеции.
Применить теорему Пифагора к неправильным сторонам.
Не обосновать, почему треугольник $AFB$ является прямоугольным.