Решение: Хорда окружности в треугольнике
Точка $H$ является основанием высоты $BH$, проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC$. Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $PK$, если $BH = 11$.
Решение по шагам
5 шаговТак как $BH$ — диаметр окружности, то углы $BPH$ и $BKH$, опирающиеся на этот диаметр, прямые:
$$\angle BPH = \angle BKH = 90^\circ$$Точки $P$ и $B$ лежат на стороне $AB$, а точки $K$ и $B$ — на стороне $CB$. Поэтому $BP \perp PH$ и $BK \perp KH$.
Кроме того, $BH$ — высота прямоугольного треугольника $ABC$, поэтому $BH \perp AC$. Из взаимной перпендикулярности следует, что $PH \parallel BK$ и $KH \parallel BP$.
Четырёхугольник $BPHK$ имеет две пары параллельных сторон, значит, является параллелограммом. Так как один из его углов прямой, это прямоугольник. Противоположные стороны прямоугольника равны:
Следовательно, искомая длина равна длине диаметра окружности:
$$PK = BH = 11$$11
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Ошибочно считать, что $PK$ является диаметром данной окружности.
Не обосновать перпендикулярность $PH$ и $KH$ через теорему о вписанном угле, опирающемся на диаметр.
Перепутать стороны прямоугольника $BPHK$ и сделать вывод $PK = PH$.