Решение: Основания трапеции по средним отрезкам
Углы при одном из оснований трапеции равны $77^\circ$ и $13^\circ$, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны $11$ и $10$. Найдите основания трапеции.
Решение по шагам
6 шаговОбозначим основания трапеции через $a$ и $b$, причём $a>b$, а высоту — через $h$. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, равен полусумме оснований.
$$\frac{a+b}{2}=11$$Из первого равенства получаем сумму оснований.
$$a+b=22$$Опустим высоты из концов меньшего основания. Горизонтальные проекции боковых сторон равны $h\cot77^\circ$ и $h\cot13^\circ$, поэтому разность оснований равна
$$a-b=h(\cot77^\circ+\cot13^\circ)$$Горизонтальное смещение между серединами оснований равно половине разности горизонтальных проекций боковых сторон. Поэтому отрезок длиной $10$ удовлетворяет равенству
$$10^2=h^2+\left(\frac{h(\cot13^\circ-\cot77^\circ)}{2}\right)^2$$Подставляя значения углов, получаем $h\approx1{,}921$, откуда
$$a-b\approx1{,}921(\cot77^\circ+\cot13^\circ)\approx8{,}765$$Решаем систему для оснований.
$$a=\frac{22+8{,}765}{2}\approx15{,}38,\qquad b=\frac{22-8{,}765}{2}\approx6{,}62$$Основания трапеции примерно равны $15{,}38$ и $6{,}62$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путают отрезок между серединами боковых сторон с высотой трапеции.
Забывают, что отрезок между серединами боковых сторон равен полусумме оснований.
Используют разность котангенсов вместо суммы при вычислении разности оснований.
Не учитывают горизонтальную составляющую отрезка между серединами оснований.