В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
- 1
Обозначим основания равнобедренной трапеции через $a$ и $b$, боковую сторону через $c$, а высоту через $h$. Так как в трапецию можно вписать окружность, сумма оснований равна сумме боковых сторон:$$a+b=2c$$
- 2
Из условия о периметре получаем:$$a+b+2c=120$$
Ещё 6 шагов — в полном решении
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 160, а площадь равна 1280, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
- 1
Обозначим основания равнобедренной трапеции через $a$ и $b$, где $a>b$, боковую сторону через $c$, а высоту через $h$. Так как в трапецию можно вписать окружность, суммы длин противоположных сторон равны:$$a+b=2c$$
- 2
Из условия о периметре получаем:$$a+b+2c=160$$
Ещё 7 шагов — в полном решении
Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F$. Найдите $AB$, если $AF = 21$, $BF = 20$.
- 1
Основания трапеции параллельны, поэтому внутренние односторонние углы при боковой стороне $AB$ supplementary:$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$
- 2
Так как $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $A$ и $B$, углы треугольника $AFB$ при вершинах $A$ и $B$ равны половинам этих углов. Поэтому их сумма равна $90^\circ$:$$\angle FAB + \angle FBA = \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2} = 90^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $8$ и $32$, $BD = 16$. Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.
- 1
В трапеции основания параллельны: $BC \parallel AD$. Прямая $BD$ является секущей этих параллельных прямых, поэтому углы $CBD$ и $BDA$ равны как накрест лежащие.$$\angle CBD = \angle BDA$$
- 2
Рассмотрим стороны, прилежащие к равным углам. По условию $BC = 8$, $BD = 16$, $AD = 32$.$$\frac{BC}{BD} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}, \qquad \frac{BD}{AD} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Точка $H$ является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла $B$ треугольника $ABC$ к гипотенузе $AC$. Найдите $AB$, если $AH = 9$, $AC = 36$.
- 1
В прямоугольном треугольнике $ABC$ отрезок $AH$ является проекцией катета $AB$ на гипотенузу $AC$.
- 2
По теореме о катете квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета.$$AB^2 = AC \cdot AH$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 1500, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
- 1
Пусть основания равнобедренной трапеции равны $a$ и $b$, а боковая сторона равна $c$. Для описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны, поэтому$$a+b=2c$$
- 2
По условию периметр равен $200$, значит$$a+b+2c=200$$
Ещё 6 шагов — в полном решении
Катеты прямоугольного треугольника равны 18 и 24. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
- 1
По теореме Пифагора найдём гипотенузу прямоугольного треугольника:$$c=\sqrt{18^2+24^2}=\sqrt{324+576}=\sqrt{900}=30$$
- 2
Выразим площадь треугольника через катеты и через гипотенузу и высоту, проведённую к гипотенузе:$$S=\frac{18\cdot24}{2}=\frac{30h}{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 21 и 75. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
- 1
Обозначим второй катет через $b$. По теореме Пифагора:$$b^2 + 21^2 = 75^2$$
- 2
Найдём второй катет:$$b = \sqrt{75^2 - 21^2} = \sqrt{5625 - 441} = \sqrt{5184} = 72$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD$, пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF$, если $AD = 45$, $BC = 27$, $CF : DF = 5 : 4$.
- 1
Так как $EF$ параллелен основаниям трапеции, длина отрезка, параллельного основаниям, изменяется линейно от длины $BC$ до длины $AD$.
- 2
Из отношения $CF:DF=5:4$ получаем $CD=CF+DF$ и $\frac{CF}{CD}=\frac{5}{9}$. Значит, отрезок $EF$ расположен на $\frac{5}{9}$ расстояния от основания $BC$ к основанию $AD$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. Найдите $MC$, если $AB = 13$, $DC = 65$, $AC = 42$.
- 1
Рассмотрим треугольники $AMB$ и $CMD$. Углы $AMB$ и $CMD$ — вертикальные, а углы $MAB$ и $MCD$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$. Следовательно, треугольники подобны.$$\triangle AMB \sim \triangle CMD$$
- 2
Из подобия треугольников получаем отношение соответствующих сторон:$$\frac{AM}{MC}=\frac{AB}{DC}=\frac{13}{65}=\frac{1}{5}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. Найдите $MC$, если $AB = 16$, $DC = 24$, $AC = 25$.
- 1
Так как $AB \parallel DC$, углы $MAB$ и $MCD$ равны как накрест лежащие углы. Углы $AMB$ и $CMD$ — вертикальные.$$\angle MAB = \angle MCD,\quad \angle AMB = \angle CMD$$
- 2
Следовательно, треугольники $AMB$ и $CMD$ подобны по двум углам.$$\triangle AMB \sim \triangle CMD$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Точка $H$ является основанием высоты $BH$, проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC$. Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$…
- 1
Так как $P$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $BH$, по теореме Фалеса углы $BPH$ и $BKH$ являются прямыми.$$\angle BPH = \angle BKH = 90^\circ$$
- 2
Поскольку $P \in AB$, $K \in CB$, а $BH \perp AC$, имеем $\angle PBH = \angle CBH$. Следовательно, прямоугольные треугольники $BPH$ и $BKH$ подобны.
Ещё 3 шага — в полном решении
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 18, а одна из диагоналей ромба равна 72. Найдите углы ромба.
- 1
Обозначим вторую диагональ ромба через $d$, а сторону ромба — через $a$. Точка пересечения диагоналей находится на расстоянии $18$ от стороны, поэтому это радиус вписанной в ромб окружности.$$r=18$$
- 2
Площадь ромба через диагонали равна $S=\dfrac{72d}{2}=36d$. Полупериметр ромба равен $p=2a$. С другой стороны, $S=rp$, поэтому$$36d=18\cdot 2a$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите периметр параллелограмма, если $BK = 8$, $CK = 13$.
- 1
Так как $AK$ — биссектриса угла $DAB$, то $\angle BAK = \angle KAD$. Поскольку $BC \parallel AD$, угол $AKB$ равен углу $KAD$.$$\angle BAK = \angle AKB$$
- 2
В треугольнике $ABK$ равны углы при вершинах $A$ и $K$, поэтому равны и противолежащие стороны.$$AB = BK = 8$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD$, если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $30°$ и $135°$, а $CD = 17$.
- 1
Проведём из вершин $A$ и $D$ перпендикуляры к основанию $BC$. Их длины равны высоте трапеции $h$.$$h = AB\sin 30°$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $CD$ и высотой трапеции. Угол между $CD$ и основанием равен $135°$, поэтому острый угол в этом прямоугольном треугольнике равен $45°$.$$h = CD\sin 135° = 17\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 12 и 20 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
- 1
По теореме Пифагора квадрат искомого катета равен разности квадратов гипотенузы и известного катета.$$b^2 = 20^2 - 12^2$$
- 2
Вычислим длину искомого катета.$$b = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$$
Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD$, пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF$, если $AD = 48$, $BC = 16$, $CF : DF = 5 : 3$.
- 1
Из условия $CF : DF = 5 : 3$ следует, что $CD$ состоит из $8$ равных частей, а отрезок $CF$ — из $5$ таких частей. Поэтому $\dfrac{CF}{CD} = \dfrac{5}{8}$.
- 2
Поскольку $EF$ параллелен основаниям трапеции, длина параллельного сечения изменяется пропорционально его положению на боковой стороне. От основания $BC$ до основания $AD$ длина увеличивается на $AD - BC = 48 - 16 = 32$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD$, если $AB = 16$, а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно $15$ и $8$.
- 1
Перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит хорду пополам. Поэтому половина хорды $AB$ равна $8$.$$\frac{AB}{2} = \frac{16}{2} = 8$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, расстоянием от центра до хорды $AB$ и половиной хорды $AB$. По теореме Пифагора найдём радиус окружности.$$R^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289,\quad R = 17$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите периметр параллелограмма, если $BK = 6$, $CK = 10$.
- 1
Так как точка $K$ лежит на стороне $BC$, найдём длину стороны $BC$:$$BC = BK + CK = 6 + 10 = 16$$
- 2
В параллелограмме $AD \parallel BC$, поэтому угол между биссектрисой $AK$ и стороной $AD$ равен половине угла $A$. Поскольку $AK$ — биссектриса угла $A$, из рассмотрения равных углов и параллельности следует, что треугольник $ABK$…$$AB = BK = 6$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 11, а одна из диагоналей ромба равна 44. Найдите углы ромба.
- 1
Обозначим точку пересечения диагоналей ромба через $O$. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половина данной диагонали равна $22$. Пусть половина второй диагонали равна $x$, а сторона ромба равна $a$.
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. По теореме Пифагора:$$a^2=22^2+x^2$$
Ещё 4 шага — в полном решении