Решение: Точка пересечения диагоналей трапеции
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 1500, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Решение по шагам
8 шаговПусть основания равнобедренной трапеции равны $a$ и $b$, а боковая сторона равна $c$. Для описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны, поэтому
$$a+b=2c$$По условию периметр равен $200$, значит
$$a+b+2c=200$$С учётом равенства $a+b=2c$ получаем
$$4c=200,\quad c=50,\quad a+b=100$$Площадь трапеции равна $1500$, поэтому её высота $h$ определяется равенством
$$1500=\frac{(a+b)h}{2}=\frac{100h}{2}=50h,\quad h=30$$Опустим высоты из концов меньшего основания. В образовавшемся прямоугольном треугольнике горизонтальная проекция боковой стороны равна
$$x=\sqrt{c^2-h^2}=\sqrt{50^2-30^2}=40$$Разность оснований равна удвоенной горизонтальной проекции боковой стороны:
$$|a-b|=2x=80$$Так как сумма оснований равна $100$, основания равны $90$ и $10$. Следовательно, меньшее основание равно $10$.
Точка пересечения диагоналей делит высоту трапеции так, что расстояния от неё до оснований пропорциональны длинам этих оснований. Поэтому расстояние до меньшего основания равно
$$d=h\cdot\frac{10}{90+10}=30\cdot\frac{10}{100}=3$$Расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания равно 3.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно использовать свойство описанного четырёхугольника и записать равенство сумм соседних сторон.
Забыть, что горизонтальная проекция боковой стороны равна половине разности оснований.
Взять расстояние до большего основания вместо расстояния до меньшего.
Использовать неверное отношение отрезков, на которые точка пересечения диагоналей делит высоту.