Решение: Углы ромба по диагонали
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 18, а одна из диагоналей ромба равна 72. Найдите углы ромба.
Решение по шагам
7 шаговОбозначим вторую диагональ ромба через $d$, а сторону ромба — через $a$. Точка пересечения диагоналей находится на расстоянии $18$ от стороны, поэтому это радиус вписанной в ромб окружности.
$$r=18$$Площадь ромба через диагонали равна $S=\dfrac{72d}{2}=36d$. Полупериметр ромба равен $p=2a$. С другой стороны, $S=rp$, поэтому
$$36d=18\cdot 2a$$Из полученного равенства следует, что сторона ромба равна второй диагонали:
$$a=d$$Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Поэтому из прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей и стороной ромба, получаем
$$a^2=36^2+\left(\frac d2\right)^2$$Подставим $a=d$:
$$d^2=36^2+\frac{d^2}{4},\quad \frac{3d^2}{4}=1296,\quad d=24\sqrt{3}$$Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна $a=24\sqrt{3}$, а катет, соответствующий половине диагонали длиной $72$, равен $36$. Тогда
$$\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{36}{24\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$Следовательно, $\dfrac{\alpha}{2}=30^\circ$, поэтому острый угол ромба равен $60^\circ$. Соседние углы ромба supplementary, значит второй угол равен $180^\circ-60^\circ=120^\circ$.
Углы ромба равны $60^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путать радиус вписанной окружности с расстоянием от центра ромба до вершины.
Использовать формулу площади ромба без деления произведения диагоналей на $2$.
Забывать, что диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам.
Указывать только один угол, не находя второй угол ромба.