Решение: Расстояние до меньшего основания
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Решение по шагам
8 шаговОбозначим основания равнобедренной трапеции через $a$ и $b$, боковую сторону через $c$, а высоту через $h$. Так как в трапецию можно вписать окружность, сумма оснований равна сумме боковых сторон:
$$a+b=2c$$Из условия о периметре получаем:
$$a+b+2c=120$$Следовательно, $a+b=60$ и $2c=60$, поэтому $c=30$.
Используем формулу площади трапеции:
$$S=\frac{a+b}{2}\cdot h$$Тогда высота равна:
$$h=\frac{2S}{a+b}=\frac{2\cdot540}{60}=18$$Пусть половина разности оснований равна $x$. Из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, высотой и отрезком $x$, получаем:
$$x=\sqrt{c^2-h^2}=\sqrt{30^2-18^2}=24$$Разность оснований равна $2x=48$. Вместе с их суммой получаем:
$$a=\frac{60+48}{2}=54,\quad b=\frac{60-48}{2}=6$$Точка пересечения диагоналей делит высоту в отношении оснований. Поэтому расстояние от этой точки до меньшего основания равно:
$$d=\frac{b}{a+b}\cdot h=\frac{6}{60}\cdot18=1{,}8$$1,8
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют неверное условие существования вписанной окружности вместо равенства суммы оснований и суммы боковых сторон.
Ошибаются при нахождении высоты из формулы площади.
Находят расстояние от точки пересечения диагоналей до большего, а не до меньшего основания.
Полагают, что точка пересечения диагоналей является серединой высоты.