Решение: Углы ромба по диагонали
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 11, а одна из диагоналей ромба равна 44. Найдите углы ромба.
Решение по шагам
6 шаговОбозначим точку пересечения диагоналей ромба через $O$. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половина данной диагонали равна $22$. Пусть половина второй диагонали равна $x$, а сторона ромба равна $a$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. По теореме Пифагора:
$$a^2=22^2+x^2$$Площадь ромба равна половине произведения диагоналей, то есть $S=22x$. С другой стороны, расстояние от точки $O$ до стороны равно радиусу вписанной окружности ромба, поэтому $S=r\cdot p$, где $r=11$, а полупериметр ромба равен $2a$.
$$22x=11\cdot 2a$$Из последнего равенства получаем:
$$x=a/2$$Пусть $\alpha$ — острый угол ромба. В прямоугольном треугольнике, образованном половиной диагонали и стороной ромба, отношение катета к гипотенузе равно $1/2$. Поэтому один из острых углов ромба равен $60^\circ$.
$$\sin 30^\circ=\frac{x}{a}=\frac{1}{2}$$Соседние углы ромба supplementary, поэтому второй угол равен:
$$180^\circ-60^\circ=120^\circ$$Углы ромба равны $60^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают, что точка пересечения диагоналей делит каждую диагональ пополам.
Используют площадь ромба как произведение диагоналей без множителя $\frac{1}{2}$.
Забывают, что полупериметр ромба равен $2a$, а не $a$.
Указывают только один угол, не находя второй угол ромба.