Решение: Высота и окружность
Точка $H$ является основанием высоты $BH$, проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC$. Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $BH$, если $PK = 13$.
Решение по шагам
5 шаговВведём прямоугольную систему координат с началом в точке $B$. Ось $Ox$ направим вдоль $BA$, а ось $Oy$ — вдоль $BC$. Пусть $H=(x,y)$. Тогда длина высоты равна
$$BH=\sqrt{x^2+y^2}$$Окружность с диаметром $BH$ состоит из точек $X$, для которых угол $BXH$ прямой. Для точки $P$, лежащей на оси $Ox$, имеем $P=(p,0)$. Условие перпендикулярности векторов $\overrightarrow{BP}$ и $\overrightarrow{HP}$ даёт $p(p-x)=0$. Так как $P\ne B$, получаем $p=x$, то есть $P=(x,0)$.
Аналогично, если $K=(0,k)$, то условие принадлежности точки $K$ окружности даёт $k(k-y)=0$. Так как $K\ne B$, получаем $k=y$, то есть $K=(0,y)$.
По формуле расстояния между точками $P=(x,0)$ и $K=(0,y)$:
$$PK=\sqrt{(x-0)^2+(0-y)^2}=\sqrt{x^2+y^2}=BH$$Следовательно, длина высоты равна длине отрезка $PK$. По условию $PK=13$, значит
$$BH=13$$BH=13
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что точки $P$ и $K$ совпадают с точкой $B$, которая также принадлежит окружности.
Не учитывать, что $P$ и $K$ — вторые точки пересечения окружности со сторонами $AB$ и $CB$.
Неверно применять теорему о вписанном угле вместо условия перпендикулярности радиусных или диаметральных отрезков.