Решение: Подобие треугольников в трапеции
Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $5$ и $20$, $BD = 10$. Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.
Решение по шагам
3 шагаВ трапеции основания параллельны: $BC \parallel AD$. Диагональ $BD$ является секущей этих прямых, поэтому накрест лежащие углы равны:
$$\angle CBD = \angle BDA$$Рассмотрим стороны, заключённые между равными углами в треугольниках $CBD$ и $BDA$. По условию $BC = 5$, $BD = 10$, $AD = 20$.
$$\frac{BC}{BD} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}, \qquad \frac{BD}{AD} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$$Значит, две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы между ними равны. Следовательно, треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними.
$$\triangle CBD \sim \triangle BDA$$Так как $\angle CBD = \angle BDA$ и $\dfrac{BC}{BD} = \dfrac{BD}{AD} = \dfrac{1}{2}$, то $\triangle CBD \sim \triangle BDA$ по двум сторонам и углу между ними.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не указывают, почему углы $\angle CBD$ и $\angle BDA$ равны.
Сравнивают стороны в неправильном порядке и получают несоответствующие отношения.
Называют признак подобия по трём углам, хотя доказаны две пропорциональные стороны и угол между ними.