Решение: Углы ромба по диагонали
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 17, а одна из диагоналей ромба равна 68. Найдите углы ромба.
Решение по шагам
6 шаговОбозначим половину второй диагонали ромба через $x$. Тогда половина известной диагонали равна $34$. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому сторона ромба равна
$$a=\sqrt{34^2+x^2}$$Площадь ромба можно выразить через диагонали:
$$S=\frac{68\cdot 2x}{2}=68x$$Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны равно радиусу вписанной окружности. Поэтому $S=r\cdot p$, где $p=2a$ — полупериметр ромба. Подставим данные:
$$17=\frac{S}{2a}=\frac{68x}{2\sqrt{34^2+x^2}}$$После преобразований получаем:
$$34x=17\sqrt{34^2+x^2},\quad 4x^2=34^2+x^2,\quad x=\frac{34}{\sqrt{3}}$$Пусть $\alpha$ — меньший угол ромба. В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей, выполняется:
$$\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{x}{34}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$Следовательно, $\frac{\alpha}{2}=30^\circ$, поэтому меньший угол равен $60^\circ$. Соседние углы ромба supplementary:
$$\beta=180^\circ-60^\circ=120^\circ$$Углы ромба равны $60^\circ$ и $120^\circ$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путать расстояние от центра ромба до стороны с половиной диагонали.
Использовать формулу площади ромба без учёта того, что вторая диагональ равна $2x$.
Указать только один угол и не найти второй, смежный с ним.