Тапсырма 25 ОГЭ по математика: ФИПИ шешімдері қадамдық жауаптарымен

Обозначим центры окружностей через $O_1$ и $O_2$. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов:$$O_1O_2=42+84=126$$

Прямые $AB$ и $CD$ являются хордами, соединяющими точки касания двух общих внешних касательных с соответствующими окружностями. Поэтому обе эти прямые перпендикулярны линии центров $O_1O_2$.

Обозначим $AB=c$, $BC=a$, а половину угла $ABC$ — через $\alpha$. Направим ось $Ox$ вдоль биссектрисы $BE$. Тогда стороны $BA$ и $BC$ образуют с этой осью углы $\alpha$ и $-\alpha$ соответственно.$$A=(c\cos\alpha,c\sin\alpha),\quad C=(a\cos\alpha,-a\sin\alpha)$$

Так как $D$ — середина стороны $BC$, его координаты равны:$$D=\left(\frac{a}{2}\cos\alpha,-\frac{a}{2}\sin\alpha\right)$$

Расположим трапецию в координатной плоскости: $B=(0,0)$, $C=(9,0)$, $A=(0,h)$, $D=(12,h)$), где $h>0$. Пусть $E=(0,e)$. Центр окружности, касающейся прямой $AB$, имеет координаты $(r,e)$.

Так как окружность проходит через $C$ и $D$, получаем после подстановки координат точек в уравнение окружности:$$h^2-2eh-e^2-18=0$$

Пусть $BH$ и $CK$ — высоты трапеции, $BH=CK=h$, а $AH=x$. Тогда $DK=32-4-x=28-x$.$$AB^2=x^2+h^2=14^2$$

Обозначим углы при основании $AD$ через $\alpha$ и $\beta$. По условию $\alpha+\beta=90^\circ$, поэтому $\tan\alpha\tan\beta=1$.$$\frac{h}{x}\cdot\frac{h}{28-x}=1$$

Обозначим середину стороны $AB$ через $M$, а высоту трапеции через $h$. Так как $M$ лежит на биссектрисе угла $ADC$, расстояния от точки $M$ до прямых $AD$ и $DC$ равны.

Поскольку $M$ — середина боковой стороны $AB$, её расстояние до основания $AD$ равно $\dfrac{h}{2}$. Проведём через $M$ прямую, параллельную основаниям. С учётом равенства расстояний до сторон угла и условия $BC=2$ получаем $AD=8$.

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — центральные углы, опирающиеся соответственно на хорды $AB$ и $CD$. По теореме об угле, образованном двумя пересекающимися хордами,$$\angle AKB = \frac{\alpha + \beta}{2}$$

Так как $\angle AKB = 60^\circ$, получаем$$\alpha + \beta = 120^\circ$$

Так как точка $M$ равноудалена от всех вершин, точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на окружности с центром $M$. Поскольку $M$ — середина отрезка $AD$, отрезок $AD$ является диаметром этой окружности.$$AD=2R$$

Обозначим градусные меры дуг $AB$, $BC$ и $CD$ через соответственно $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Полуокружность $ABCD$ имеет меру $180^\circ$, поэтому $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$.

Обозначим $AB=c$, $BC=a$ и пусть $\alpha$ — угол между биссектрисой $BE$ и стороной $BA$. Разместим биссектрису $BE$ на оси абсцисс, а точку $B$ примем за начало координат. Тогда можно записать координаты вершин:$$A=(c\cos\alpha,\ c\sin\alpha),\quad C=(a\cos\alpha,\ -a\sin\alpha)$$

Так как $D$ — середина стороны $BC$, её координаты равны:$$D=\left(\frac{a\cos\alpha}{2},\ -\frac{a\sin\alpha}{2}\right)$$

Обозначим через $M$ середину стороны $AB$. Пусть единичные векторы направлений $DA$ и $DC$ равны $\vec e$ и $\vec u$ соответственно. Так как $DC=25$, а $BC=9$ и $BC\parallel AD$, имеем $\overrightarrow{DB}=25\vec u+9\vec e$.$$\overrightarrow{DM}=\frac{\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}}{2}=\frac{(AD+9)\vec e+25\vec u}{2}$$

Поскольку $DM$ является биссектрисой угла между направлениями $\vec e$ и $\vec u$, коэффициенты при этих единичных векторах в разложении вектора $\overrightarrow{DM}$ равны.$$AD+9=25$$

Введём координаты: $A=(0,0)$, ось $Ox$ направим вдоль луча $AC$. Тогда $M=(24,0)$ и $N=(42,0)$.

Середина отрезка $MN$ имеет абсциссу $33$, поэтому центр окружности имеет вид $O=(33;y)$.

По теореме об угле, образованном двумя пересекающимися хордами внутри окружности, получаем: сумма дуг $AB$ и $CD$ равна $120^\circ$.

Обозначим через $\alpha$ и $\beta$ половины центральных углов, опирающихся соответственно на хорды $AB$ и $CD$. Тогда $\alpha + \beta = 60^\circ$.

Так как точка $K$ лежит на биссектрисе угла $A$, она равноудалена от прямых $AB$ и $AD$. Следовательно, расстояние от $K$ до стороны $AD$ равно 7.$$d(K,AB)=d(K,AD)=7$$

Так как точка $K$ лежит на биссектрисе угла $B$, она равноудалена от прямых $BA$ и $BC$. Следовательно, расстояние от $K$ до стороны $BC$ также равно 7.$$d(K,AB)=d(K,BC)=7$$

Обозначим $AB=c$, $BC=a$, а половину угла $ABC$ — через $\alpha$. Направим ось $Ox$ по биссектрисе $BE$. Тогда стороны $BA$ и $BC$ образуют с этой осью углы $\alpha$.$$A=(c\cos\alpha,c\sin\alpha),\quad C=(a\cos\alpha,-a\sin\alpha)$$

Точка $D$ — середина отрезка $BC$, поэтому $D=\left(\frac{a}{2}\cos\alpha,-\frac{a}{2}\sin\alpha\right)$. Так как $AD\perp BE$, горизонтальная координата вектора $\overrightarrow{AD}$ равна нулю.$$\frac{a}{2}\cos\alpha-c\cos\alpha=0$$

Так как из точки $A$ проведены две секущие к окружности, по теореме о произведении отрезков секущих:$$AK \cdot AB = AP \cdot AC$$

Разделим равенство на $AB \cdot AP$ и учтём, что $AP = 36$:$$\frac{AK}{AP} = \frac{AC}{AB}$$

Введём координаты. Пусть $B=(0,0)$, $E=(32,0)$. Так как $AD\perp BE$ и $AD=32$, можно записать $A=D+(0,32)$. Поскольку $D$ — середина $BC$, имеем $C=2D$.

Обозначим $t=\dfrac{AE}{AC}$. Из условия коллинеарности точек $A$, $E$, $C$ получаем координаты точки $D$: $D=\left(\dfrac{32}{1+t},-\dfrac{32(1-t)}{1+t}\right)$.

Пусть $M$ — середина стороны $AB$, а $h$ — высота трапеции. Так как $DM$ является биссектрисой угла $ADC$, точка $M$ равноудалена от прямых $AD$ и $CD$.$$d(M,AD)=d(M,CD)$$

Расстояние от середины боковой стороны $AB$ до основания $AD$ равно $\dfrac{h}{2}$. Сопоставление расстояний до прямых $AD$ и $CD$ даёт соотношение между основаниями и боковой стороной $CD$:$$AD+BC=CD$$

В трапеции основания параллельны, поэтому $AB \parallel CD$.

Так как $AB \perp BC$, а $AB \parallel CD$, то $CD \perp BC$.

Введём координаты: $A=(0,0)$, сторона $AC$ совпадает с осью $Ox$. Тогда $M=(9,0)$ и $N=(32,0)$.

Пусть уравнение окружности имеет вид $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$. Так как окружность проходит через $M$ и $N$, получаем $81+9D+F=0$ и $1024+32D+F=0$. Отсюда $D=-41$, $F=288$. Обозначим $E=-2k$. Тогда уравнение окружности: $x^2+y^2-41x-2ky+288=0$.

Расположим начало координат в точке $A$, а ось $Ox$ направим вдоль $AC$. Тогда $M=(36,0)$ и $N=(44,0)$.

Середина отрезка $MN$ имеет абсциссу $40$, поэтому центр окружности имеет координаты $O=(40,y)$. Радиус окружности равен $R=\sqrt{(40-36)^2+y^2}=\sqrt{16+y^2}$.

Пусть $2x$ и $2y$ — величины центральных углов, опирающихся соответственно на хорды $AB$ и $CD$. По теореме о вписанных хордах, пересекающихся внутри окружности, угол между хордами равен половине суммы дуг, заключённых между сторонами…$$\angle AKB = x+y = 60^\circ$$

Длина хорды выражается через радиус окружности и половину соответствующего центрального угла.$$AB=2R\sin x,\qquad CD=2R\sin y$$