Решение: Стороны треугольника
В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную $32$. Найдите стороны треугольника $ABC$.
Решение по шагам
5 шаговВведём координаты. Пусть $B=(0,0)$, $E=(32,0)$. Так как $AD\perp BE$ и $AD=32$, можно записать $A=D+(0,32)$. Поскольку $D$ — середина $BC$, имеем $C=2D$.
Обозначим $t=\dfrac{AE}{AC}$. Из условия коллинеарности точек $A$, $E$, $C$ получаем координаты точки $D$: $D=\left(\dfrac{32}{1+t},-\dfrac{32(1-t)}{1+t}\right)$.
По теореме о биссектрисе $\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AB}{BC}$. Так как $AB=32$, а $BC=2\lvert D\rvert$, то после подстановки координат получаем уравнение $\dfrac{t}{1-t}=\dfrac{1+t}{2\sqrt{1+(1-t)^2}}$.
Положим $s=1-t$. После возведения в квадрат и упрощения получаем уравнение $3s^4-4s^3+4s^2-8s+4=0$. Подходящий корень: $s\approx0{,}634$, поэтому $t\approx0{,}366$.
Тогда $D\approx(23{,}43;-14{,}86)$, поэтому $BC=2\lvert D\rvert\approx55{,}5$. Кроме того, $AB=32$, а $AC=\lvert D-(0,32)\rvert\approx52{,}4$.
Стороны треугольника: $AB=32$, $AC\approx52{,}4$, $BC\approx55{,}5$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путают медиану с высотой и считают, что $AD\perp BC$.
Неверно применяют теорему о биссектрисе, используя отношение $AE:EC=AC:AB$.
Забывают, что $D$ — середина $BC$, поэтому $C=2D$ в выбранной системе координат.
Не проверяют, какой корень уравнения соответствует точке $E$ на отрезке $AC$.