Решение: Биссектриса и медиана треугольника
В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную $12$. Найдите стороны треугольника $ABC$.
Решение по шагам
8 шаговОбозначим $AB=c$, $BC=a$, а половину угла $ABC$ — через $\alpha$. Направим ось $Ox$ вдоль биссектрисы $BE$. Тогда стороны $BA$ и $BC$ образуют с этой осью углы $\alpha$ и $-\alpha$ соответственно.
$$A=(c\cos\alpha,c\sin\alpha),\quad C=(a\cos\alpha,-a\sin\alpha)$$Так как $D$ — середина стороны $BC$, его координаты равны:
$$D=\left(\frac{a}{2}\cos\alpha,-\frac{a}{2}\sin\alpha\right)$$Медиана $AD$ перпендикулярна биссектрисе $BE$, то есть отрезок $AD$ вертикален в выбранной системе координат. Поэтому абсциссы точек $A$ и $D$ равны:
$$\frac{a}{2}\cos\alpha=c\cos\alpha\quad\Rightarrow\quad a=2c$$Точка $E$ лежит на оси $Ox$. При $a=2c$ длина биссектрисы выражается так:
$$BE=\frac{2ac\cos\alpha}{a+c}=\frac{4c\cos\alpha}{3}=12\quad\Rightarrow\quad c\cos\alpha=9$$Длина медианы равна разности ординат точек $A$ и $D$:
$$AD=c\sin\alpha+\frac{a}{2}\sin\alpha=2c\sin\alpha=12\quad\Rightarrow\quad c\sin\alpha=6$$Используем основное тригонометрическое тождество:
$$c^2=(c\cos\alpha)^2+(c\sin\alpha)^2=9^2+6^2=117$$Следовательно, $AB=c=3\sqrt{13}$, а $BC=a=2c=6\sqrt{13}$. Для третьей стороны найдём разности координат точек $A$ и $C$:
$$AC^2=(c\cos\alpha)^2+\bigl((a+c)\sin\alpha\bigr)^2=9^2+18^2=405$$Отсюда длина третьей стороны равна:
$$AC=9\sqrt{5}$$AB=3\sqrt{13},\quad BC=6\sqrt{13},\quad AC=9\sqrt{5}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путать медиану $AD$ с высотой и считать, что она перпендикулярна стороне $BC$.
Неверно находить координаты середины $D$ стороны $BC$.
Забывать, что условие $AD\perp BE$ означает равенство абсцисс точек $A$ и $D$ в системе координат с осью $Ox$ вдоль $BE$.
Использовать длину $BE=12$ без учёта формулы длины биссектрисы.