Решение: Расстояние от касательной до хорды
В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC$. Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E$. Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $CD$, если $AD = 12$, $BC = 10$.
Решение по шагам
7 шаговРасположим трапецию на координатной плоскости: $B=(0,0)$, $C=(10,0)$, $A=(0,h)$, $D=(12,h)$, где $h>0$. Пусть $E=(0,e)$.
Так как окружность касается прямой $AB$, совпадающей с осью $Oy$, в точке $E$, её уравнение можно записать в виде
$$x^2+y^2+ux-2ey+e^2=0$$Подстановка точки $C=(10,0)$ даёт
$$100+10u+e^2=0$$Подстановка точки $D=(12,h)$ с учётом предыдущего равенства даёт
$$5h^2-10eh-e^2+120=0$$Прямая $CD$ имеет уравнение $hx-2y-10h=0$. Поэтому расстояние от точки $E=(0,e)$ до этой прямой равно
$$d=\frac{|2e+10h|}{\sqrt{h^2+4}}$$Однако условие $5h^2-10eh-e^2+120=0$ допускает различные значения $h$ и $e$, приводящие к различным расстояниям. Например, при $h=10$ получаем $e=-50+2\sqrt{780}$ и $d\approx10{,}95$. При $h=12$ получаем $e=-60+20\sqrt{12}$ и $d\approx11{,}39$.
Следовательно, заданные условия не определяют однозначно расстояние от точки $E$ до прямой $CD$.
Однозначно найти расстояние нельзя: условие содержит недостаточно данных.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что высота трапеции $AB$ однозначно определяется длинами оснований.
Не учитывать, что положение точки $E$ и высота трапеции могут изменяться.
Записывать числовой ответ без проверки зависимости расстояния от дополнительного параметра.