Решение: Площадь параллелограмма по биссектрисам
Биссектрисы углов $A$ и $B$ в параллелограмме $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Найдите площадь параллелограмма, если $BC = 17$, а расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно $10$.
Решение по шагам
4 шагаОбозначим величину угла $DAB$ через $\alpha$, а длину стороны $AB$ через $x$. Так как $BC = AD = 17$, высота параллелограмма, проведённая к стороне $AB$, равна $17\sin\alpha$.
Направление биссектрисы угла $A$ задаётся суммой единичных направляющих векторов сторон $AB$ и $AD$, а направление биссектрисы угла $B$ — суммой единичных направляющих векторов сторон $BA$ и $BC$. При пересечении этих биссектрис получается, что точка $K$ имеет координату по высоте, равную половине высоты параллелограмма.
Следовательно, расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно половине высоты параллелограмма. По условию это расстояние равно $10$, поэтому высота параллелограмма равна $20$.
$$h = 2 \cdot 10 = 20$$Площадь параллелограмма равна произведению основания $BC$ на высоту, проведённую к этому основанию. Высота, проведённая к стороне $BC$, равна длине стороны $AB$, умноженной на $\sin\alpha$, то есть совпадает с высотой, найденной относительно основания $AB$ в соответствующем произведении. Поэтому площадь можно вычислить как произведение стороны $BC$ на высоту $20$.
$$S = BC \cdot 20 = 17 \cdot 20 = 340$$Площадь параллелограмма равна $340$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ высотой всего параллелограмма, а не половиной высоты.
Использовать длину $BC = 17$ как высоту без обоснования.
Записать только число без доказательства свойства точки пересечения биссектрис.