Решение: Расстояние между параллельными хордами
Окружности радиусов 45 и 90 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $AC$ и $BD$ — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD$.
Решение по шагам
4 шагаОбозначим центры первой и второй окружностей через $O_1$ и $O_2$. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов:
$$O_1O_2=45+90=135$$Пусть угол между линией центров $O_1O_2$ и общей касательной $AC$ равен $\alpha$. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны общей касательной, поэтому разность расстояний от центров до этой касательной равна $90-45=45$.
Из прямоугольного треугольника, образованного линией центров и перпендикулярами к общей касательной, получаем:
$$\sin\alpha=\frac{90-45}{135}=\frac{45}{135}=\frac13$$Прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны радиусам, проведённым к точкам касания, поэтому они параллельны общей касательной. Расстояние между ними равно проекции отрезка $O_1O_2$ на перпендикуляр к этим прямым:
$$h=O_1O_2\sin\alpha=135\cdot\frac13=45$$45
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Складывают радиусы вместо нахождения разности радиусов при вычислении расстояния между общими внешними касательными.
Считают, что прямые $AB$ и $CD$ не параллельны.
Не обосновывают, почему расстояние между прямыми выражается через синус угла между линией центров и касательной.