Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Треугольники» — с ответами

Введём систему координат: $D=(0,0)$, $A=(0,15)$, а прямая $BC$ совпадает с осью абсцисс. Так как $MD=12$ и точка $M$ лежит между $A$ и $D$, имеем $M=(0,3)$.$$AM=AD-MD=15-12=3$$

Пусть центр окружности, построенной на диаметре $BC$, имеет координаты $(q,0)$, а её радиус равен $R$. Тогда точки $B$ и $C$ можно записать как $B=(q-R,0)$ и $C=(q+R,0)$.

Обозначим центры первой и второй окружностей через $O_1$ и $O_2$. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов:$$O_1O_2=45+90=135$$

Пусть угол между линией центров $O_1O_2$ и общей касательной $AC$ равен $\alpha$. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны общей касательной, поэтому разность расстояний от центров до этой касательной равна $90-45=45$.

Обозначим $AB = m$, $BC = n$, а половину угла $B$ — через $\alpha$. Введём координаты так, чтобы биссектриса $BE$ была вертикальной осью. Тогда можно записать координаты вершин:$$A=(m\sin\alpha, m\cos\alpha),\quad C=(-n\sin\alpha, n\cos\alpha)$$

По теореме о биссектрисе точка $E$ делит сторону $AC$ в отношении $AE:EC = AB:BC = m:n$. Поэтому координата $x$ точки $E$ равна нулю, а её координата $y$ равна:$$BE=\frac{2mn\cos\alpha}{m+n}=16$$

Обозначим $AB=c$, $BC=a$, а половину угла $B$ — через $\varphi$. Разместим точку $B$ в начале координат, а биссектрису $BE$ направим вдоль оси абсцисс. Тогда можно записать:$$A=(c\cos\varphi,c\sin\varphi),\quad C=(a\cos\varphi,-a\sin\varphi)$$

Так как $D$ — середина отрезка $BC$, её координаты равны:$$D=\left(\frac{a\cos\varphi}{2},-\frac{a\sin\varphi}{2}\right)$$

Диаметр окружности равен $16$, значит её радиус равен $8$. Обозначим центр окружности через $O$.$$OB = OC = 8$$

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому $OB \perp AB$, и треугольник $AOB$ прямоугольный.$$AO^2 = AB^2 + OB^2$$

Обозначим радиус описанной окружности через $R$. Для точки $B$ рассмотрим её проекцию на прямую $AO$. Так как $OB = OA = R$, из прямоугольного треугольника, образованного радиусом и проекцией, получаем:$$AB^2 = 2R \cdot \operatorname{proj}_{AO} AB$$

Аналогично для точки $C:$$AC^2 = 2R \cdot \operatorname{proj}_{AO} AC$$

Расположим $A$ в начале координат, а $AC$ направим вдоль положительной полуоси $Ox$. Тогда $M(18;0)$ и $N(40;0)$.

Центр $O$ окружности, проходящей через $M$ и $N$, лежит на серединном перпендикуляре к $MN$. Поэтому $O(29;k)$, а радиус окружности равен$$R=\sqrt{(29-18)^2+k^2}=\sqrt{121+k^2}$$

Обозначим центры первой и второй окружностей через $O_1$ и $O_2$. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны соответствующим общим касательным.

Поскольку $AC$ и $BD$ — общие внешние касательные, точки $A$ и $B$ являются концами диаметра первой окружности, а точки $C$ и $D$ — концами диаметра второй окружности. Поэтому прямые $AB$ и $CD$ проходят через центры окружностей.

Радиус окружности равен половине диаметра:$$OB = OC = \frac{8{,}4}{2} = 4{,}2$$

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому треугольник $AOB$ прямоугольный:$$AO^2 = AB^2 + OB^2$$

Обозначим радиус описанной окружности через $R$. Опустим из точек $B$ и $C$ перпендикуляры на прямую $AO$. Для точки $B$ проекция отрезка $AB$ на $AO$ равна $\dfrac{AB^2}{2R}$, а для точки $C$ — $\dfrac{AC^2}{2R}$. Это следует из…$$x_B = \dfrac{AB^2}{2R}, \qquad x_C = \dfrac{AC^2}{2R}$$

Поскольку $BD \perp AO$, точка $D$ имеет такую же проекцию на $AO$, как и точка $B$. Точка $D$ лежит на отрезке $AC$, поэтому отношение $AD:AC$ равно отношению проекций $x_B:x_C$.$$\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{x_B}{x_C} = \dfrac{AB^2}{AC^2}$$

По теореме о пересекающихся секущих, проведённых из точки $A$, произведения соответствующих отрезков равны:$$AK \cdot AB = AP \cdot AC$$

Так как $AP = 34$, получаем:$$\frac{AK}{AC} = \frac{AP}{AB} = \frac{34}{AB}$$

Обозначим через $N$ вторую точку пересечения прямой $AD$ с окружностью. Так как центр окружности лежит на $BC$, а $AD\perp BC$, прямая $AD$ проходит через центр окружности перпендикулярно диаметру. Поэтому $M$ и $N$ симметричны…$$DN=69$$

По теореме о произведении отрезков двух пересекающихся хорд для точки $D$ имеем:$$DB\cdot DC=DM\cdot DN=69^2=4761$$

Рассмотрим треугольники $AKP$ и $ACB$. Угол $KAP$ равен углу $CAB$, так как лучи $AK$ и $AB$, а также $AP$ и $AC$ совпадают.$$\angle KAP = \angle CAB$$

Углы $AKP$ и $ACB$ равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $BP$.$$\angle AKP = \angle ACB$$

Обозначим центр окружности через $O$, а её радиус через $R$. Так как окружность касается прямой $AB$ в точке $B$, радиус $OB$ перпендикулярен $AB$.$$OB \perp AB$$

Точки $A$, $O$, $C$ лежат на одной прямой, причём $O$ находится на стороне $AC$. Так как точки $B$ и $C$ лежат на окружности, $OB = OC = R$.$$AO + OC = AC = 12$$

Обозначим центр окружности через $O$. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $OB \perp AB$ и треугольник $AOB$ прямоугольный.$$OB = \dfrac{3{,}6}{2} = 1{,}8$$

По теореме Пифагора найдём длину $AO$:$$AO^2 = AB^2 + OB^2 = 8^2 + 1{,}8^2 = 64 + 3{,}24 = 67{,}24$$

Обозначим через $2x$ и $2y$ величины меньших дуг $AB$ и $CD$ соответственно. По теореме об угле, образованном пересекающимися хордами,$$\angle AKB=\frac{1}{2}(2x+2y)=x+y$$

Так как $\angle AKB=60^\circ$, получаем:$$x+y=60^\circ$$

Введём координаты: $A(0;0)$, $C$ лежит на положительной полуоси $Ox$. Тогда $M(4;0)$ и $N(15;0)$. Середина отрезка $MN$ имеет абсциссу $\dfrac{4+15}{2}=\dfrac{19}{2}$, поэтому центр окружности имеет координаты…$$R^2=\left(\dfrac{19}{2}-4\right)^2+k^2=\dfrac{121}{4}+k^2$$

Так как $\cos \angle BAC=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$, то $\sin \angle BAC=\dfrac{1}{4}$. Направляющий вектор луча $AB$ можно взять равным $\left(\dfrac{\sqrt{15}}{4};\dfrac14\right)$. Расстояние от центра $O$ до прямой $AB$ должно быть равно…$$\left(\dfrac{19}{8}-\dfrac{k\sqrt{15}}{4}\right)^2=\dfrac{121}{4}+k^2$$

Расположим начало координат в точке $D$, ось $Ox$ направим вдоль $BC$, а ось $Oy$ — вдоль $DA$. Тогда $A=(0,49)$, а точка $M=(0,42)$, поскольку $MD=42$.

Пусть $B=(u,0)$, $C=(v,0)$. Уравнение окружности, построенной на отрезке $BC$ как на диаметре, имеет вид $x^2+y^2-(u+v)x+uv=0$.

Поскольку $O$ — центр описанной окружности, имеем $OA = OB = OC$. Из равенства $OA^2 = OB^2$ получаем$$OA^2 = (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB})^2 \Rightarrow 2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB} + AB^2 = 0$$

Аналогично из равенства $OA^2 = OC^2$ следует$$2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AC} + AC^2 = 0$$

Обозначим центр окружности через $O$. Радиус окружности равен половине диаметра:$$OC = OB = \frac{6{,}4}{2} = 3{,}2$$

Радиус $OB$, проведённый в точку касания, перпендикулярен прямой $AB$. Поэтому треугольник $AOB$ прямоугольный.$$OB \perp AB$$