Решение: Диаметр окружности в треугольнике
Окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B$. Найдите диаметр окружности, если $AB = 9$, $AC = 12$.
Решение по шагам
7 шаговОбозначим центр окружности через $O$, а её радиус через $R$. Так как окружность касается прямой $AB$ в точке $B$, радиус $OB$ перпендикулярен $AB$.
$$OB \perp AB$$Точки $A$, $O$, $C$ лежат на одной прямой, причём $O$ находится на стороне $AC$. Так как точки $B$ и $C$ лежат на окружности, $OB = OC = R$.
$$AO + OC = AC = 12$$Пусть $AO = x$. Тогда $OC = 12-x$. В прямоугольном треугольнике $AOB$ по теореме Пифагора:
$$AO^2 = AB^2 + OB^2$$Подставим известные значения и учтём, что $OB = OC = 12-x$:
$$x^2 = 9^2 + (12-x)^2$$Решим уравнение:
$$x^2 = 81 + 144 - 24x + x^2;\quad 24x = 225;\quad x = \frac{75}{8}$$Найдём радиус окружности:
$$R = OC = 12 - \frac{75}{8} = \frac{21}{8}$$Диаметр окружности равен двум радиусам:
$$d = 2R = 2 \cdot \frac{21}{8} = \frac{21}{4} = 5{,}25$$Диаметр окружности равен $\frac{21}{4}$, или $5{,}25$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не используют перпендикулярность радиуса касательной.
Принимают $AO$ за радиус окружности, хотя радиусом является $OB = OC$.
Находят радиус, но не удваивают его для получения диаметра.
Неверно составляют теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике $AOB$.