ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ОГЭ по математика: «Үшбұрыштар» — жауаптарымен

Биссектриса равностороннего треугольника

Сторона равностороннего треугольника равна $16\sqrt{3}$. Найдите биссектрису этого треугольника.

1. 1
   В равностороннем треугольнике биссектриса, проведённая из вершины, одновременно является высотой.$$h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
2. 2
   Подставим длину стороны треугольника.$$h = \dfrac{16\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2} = \dfrac{16\cdot 3}{2} = 24$$

Угол треугольника и медиана

В треугольнике проведена медиана. Найдите градусную меру угла, если известны указанные в условии величины.

1. 1
   Медиана делит противоположную сторону треугольника на два равных отрезка. Используем это свойство вместе с данными условиями задачи.
2. 2
   Преобразуя полученные соотношения между углами, находим градусную меру искомого угла.$$\alpha = 37^\circ$$

Внешний угол треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $115^\circ$. Найдите внешний угол при вершине $C$.

1. 1
   Внутренний и внешний углы при вершине $C$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + 115^\circ = 180^\circ$$
2. 2
   Находим внешний угол:$$\alpha = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$$

Высота равностороннего треугольника

Сторона равностороннего треугольника равна $14\sqrt{3}$. Найдите высоту этого треугольника.

1. 1
   Высота равностороннего треугольника выражается через его сторону формулой:$$h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
2. 2
   Подставим значение стороны и упростим выражение:$$h = \dfrac{14\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2} = \dfrac{14\cdot 3}{2} = 21$$

Средняя желі треугольника

Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$. Сторона $AB$ равна $42$, сторона $BC$ равна $44$, сторона $AC$ равна $62$. Найдите $MN$.

1. 1
   Точки $M$ и $N$ — середины двух сторон треугольника, поэтому отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$.$$MN \parallel AC$$
2. 2
   Средняя желі равна половине третьей стороны.$$MN = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{62}{2} = 31$$

Угол биссектрисы треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC = 28^\circ$, $AD$ — биссектриса. Найдите угол $BAD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $AD$ — биссектриса угла $BAC$, она делит этот угол на два равных угла.$$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC$$
2. 2
   Подставим значение угла $BAC$.$$\angle BAD = \frac{28^\circ}{2} = 14^\circ$$

Угол треугольника и биссектриса

В треугольнике проведена биссектриса. Найдите градусную меру угла, если известны две указанные в условии угловые величины.

1. 1
   Биссектриса делит соответствующий угол треугольника на два равных угла.$$\angle_1 = \angle_2$$
2. 2
   Используем сумму углов треугольника и подставляем данные условия.$$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Другой катет треугольника

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 20 и 25 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

1. 1
   Обозначим неизвестный катет через $x$. По теореме Пифагора:$$x^2+20^2=25^2$$
2. 2
   Найдём квадрат неизвестного катета:$$x^2=25^2-20^2=625-400=225$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол при основании равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $\angle ABC = 104^\circ$. Найдите угол $BCA$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны, поэтому он равнобедренный, а углы при основании равны.$$\angle BAC = \angle BCA$$
2. 2
   Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Обозначим каждый угол при основании через $x$ и составим уравнение.$$x + x + 104^\circ = 180^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Длина медианы треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 54$, $BM$ — медиана, $BM = 43$. Найдите $AM$.

1. 1
   Так как $BM$ — медиана треугольника $ABC$, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2}$$
2. 2
   Подставим известную длину стороны $AC$:$$AM = \dfrac{54}{2} = 27$$

Угол при биссектрисе

В треугольнике проведена биссектриса. Найдите градусную меру угла, если известны две другие угловые величины, указанные в условии.

1. 1
   Биссектриса делит угол треугольника на два равных угла.$$\angle 1=\angle 2$$
2. 2
   Используем сумму углов треугольника и данные условия.$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Средняя желі треугольника

Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, сторона $AB$ равна 83, сторона $BC$ равна 62, сторона $AC$ равна 104. Найдите $MN$.

1. 1
   Точки $M$ и $N$ — середины двух сторон треугольника, поэтому $MN$ является средней линией треугольника $ABC$.$$MN \parallel AC$$
2. 2
   Средняя желі треугольника равна половине третьей стороны.$$MN = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{104}{2} = 52$$

Средняя желі треугольника

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник $ABC$. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне $AC$.

1. 1
   По рисунку сторона $AC$ занимает 8 клеток, поэтому её длина равна $8$.$$AC=8$$
2. 2
   Средняя желі треугольника, параллельная стороне $AC$, равна половине этой стороны.$$l=\frac{AC}{2}=\frac{8}{2}=4$$

Сторона равностороннего треугольника

Биссектриса равностороннего треугольника равна $9\sqrt{3}$. Найдите сторону этого треугольника.

1. 1
   В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой.$$h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
2. 2
   Подставим значение высоты и решим уравнение относительно стороны:$$\dfrac{a\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 16. Найдите гипотенузу этого треугольника.

1. 1
   По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.$$c^2 = 12^2 + 16^2$$
2. 2
   Вычислим длину гипотенузы:$$c = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$$

Другой острый угол

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $23^\circ$. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна $90^\circ$.$$\alpha + \beta = 90^\circ$$
2. 2
   Найдём второй острый угол:$$\beta = 90^\circ - 23^\circ = 67^\circ$$

Нахождение катета треугольника

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 30 и 50 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

1. 1
   По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.$$30^2+x^2=50^2$$
2. 2
   Найдём квадрат другого катета:$$x^2=50^2-30^2=2500-900=1600$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Высота равностороннего треугольника

Сторона равностороннего треугольника равна $12\sqrt{3}$. Найдите высоту этого треугольника.

1. 1
   Высота равностороннего треугольника выражается через его сторону формулой:$$h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
2. 2
   Подставим значение стороны:$$h = \dfrac{12\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2} = \dfrac{12\cdot 3}{2} = 18$$

Длина медианы треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 36$, $BM$ — медиана, $BM = 13$. Найдите $AM$.

1. 1
   Так как $BM$ — медиана треугольника, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2}$$
2. 2
   Подставим известную длину стороны $AC$:$$AM = \dfrac{36}{2} = 18$$

Угол равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $\angle ABC = 124^\circ$. Найдите угол $BCA$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Из равенства $AB = BC$ следует, что треугольник $ABC$ равнобедренный, а его углы при основании равны.$$\angle BAC = \angle BCA$$
2. 2
   Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Найдём каждый угол при основании:$$\angle BCA = \frac{180^\circ - 124^\circ}{2} = 28^\circ$$