Решение: Радиус касающейся окружности
Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $4$ и $15$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{\sqrt{15}}{4}$.
Решение по шагам
6 шаговВведём координаты: $A(0;0)$, $C$ лежит на положительной полуоси $Ox$. Тогда $M(4;0)$ и $N(15;0)$. Середина отрезка $MN$ имеет абсциссу $\dfrac{4+15}{2}=\dfrac{19}{2}$, поэтому центр окружности имеет координаты $O\left(\dfrac{19}{2};k\right)$.
$$R^2=\left(\dfrac{19}{2}-4\right)^2+k^2=\dfrac{121}{4}+k^2$$Так как $\cos \angle BAC=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$, то $\sin \angle BAC=\dfrac{1}{4}$. Направляющий вектор луча $AB$ можно взять равным $\left(\dfrac{\sqrt{15}}{4};\dfrac14\right)$. Расстояние от центра $O$ до прямой $AB$ должно быть равно радиусу окружности.
$$\left(\dfrac{19}{8}-\dfrac{k\sqrt{15}}{4}\right)^2=\dfrac{121}{4}+k^2$$После упрощения получаем квадратное уравнение для ординаты центра.
$$4k^2+76\sqrt{15}k+1575=0$$Корни уравнения: $k=-\dfrac{3\sqrt{15}}{2}$ и $k=-\dfrac{35\sqrt{15}}{2}$. Для второго значения точка касания находится на продолжении прямой $AB$ за точкой $A$, а не на луче $AB$, поэтому оно не подходит.
Для подходящего центра $k=-\dfrac{3\sqrt{15}}{2}$ вычислим радиус.
$$R^2=\dfrac{121}{4}+\left(-\dfrac{3\sqrt{15}}{2}\right)^2=\dfrac{121}{4}+\dfrac{135}{4}=64$$Следовательно, радиус окружности равен $8$.
8
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не проверяют, лежит ли точка касания именно на луче $AB$, а не на его продолжении.
Ошибаются при вычислении синуса угла из заданного косинуса.
При нахождении центра окружности не используют тот факт, что он лежит на серединном перпендикуляре к $MN$.