Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Функции и графики» — с ответами

Раскроем модуль по определению.$$y=\begin{cases}-x(x+3)-5x=-x^2-8x, & x<0,\\ x(x+3)-5x=x^2-2x, & x\geq 0.\end{cases}$$

Левая часть графика — парабола $y=-x^2-8x=16-(x+4)^2$ при $x<0$. Её вершина имеет координаты $(-4;16)$, а при приближении $x$ к нулю слева значение функции приближается к нулю.

Разложим числитель на множители:$$0{,}75x^2-2{,}25x=0{,}75x(x-3)$$

При $x\ne3$ сократим множитель $x-3$. Точка $x=3$ не входит в область определения исходной функции.$$y=\dfrac{0{,}75x(x-3)|x|}{x-3}=0{,}75x|x|,\quad x\ne3$$

Преобразуем квадратичную часть функции:$$x^2+4x-1=(x+2)^2-5$$

При $x\geq -4$ график является частью параболы $y=(x+2)^2-5$. Её вершина имеет координаты $(-2;-5)$, а точка при $x=-4$ имеет координаты $(-4;-1)$ и принадлежит графику.

Раскроем модуль по определению.$$y=\begin{cases}-3(x+8)-x^2-14x-48=-x^2-17x-72, & x<-8,\\ 3(x+8)-x^2-14x-48=-x^2-11x-24, & x\geqslant -8.\end{cases}$$

Левая ветвь является частью параболы, направленной вниз. Её вершина имеет абсциссу $x=-\dfrac{17}{2}$ и ординату $y=\dfrac14$. При $x\to -8$ значение функции стремится к $0$.$$y=-\left(x+\frac{17}{2}\right)^2+\frac14,\quad x<-8$$

Рассмотрим параболу $y = x^2 + x - 2$. Её нули находятся из уравнения $(x + 2)(x - 1) = 0$: $x = -2$ и $x = 1$.$$x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$$

Вершина исходной параболы имеет координаты $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{9}{4}\right)$. После взятия модуля часть графика ниже оси абсцисс отражается вверх, поэтому вершина этой части становится точкой…$$y = \left|-x^2-x+2\right| = -x^2-x+2,\quad -2\leq x\leq 1$$

Разложим знаменатель на множители:$$2x^2+5x=x(2x+5)$$

Сократим дробь, учитывая ограничения на область определения:$$y=\frac{2x+5}{x(2x+5)}=\frac{1}{x},\quad x\ne 0,\quad x\ne -\frac{5}{2}$$

Разложим знаменатель на множители и определим область допустимых значений:$$5x^2 - 8x = x(5x - 8),\quad x \ne 0,\quad x \ne \dfrac{8}{5}$$

Сократим дробь с учётом ограничений:$$y = \dfrac{5x - 8}{x(5x - 8)} = \dfrac{1}{x},\quad x \ne 0,\quad x \ne \dfrac{8}{5}$$

Первую часть функции преобразуем к виду параболы с вершиной:$$y=x^2+6x+7=(x+3)^2-2$$

Парабола имеет вершину $(-3,-2)$ и ветви, направленные вверх. На заданной части области $x\ge -4$ она начинается в точке $(-4,-1)$, так как $(-4)^2+6\cdot(-4)+7=-1$.

Раскроем модуль в зависимости от значения $x$. При $x<3$ имеем $|x-3|=3-x$, поэтому$$y=x^2-7x-5(3-x)+12=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$$

При $x\geqslant 3$ имеем $|x-3|=x-3$, поэтому$$y=x^2-7x-5(x-3)+12=x^2-12x+27=(x-6)^2-9$$

Разложим знаменатель на множители, используя $x^2=|x|^2$:$$|x|-3{,}5x^2=|x|(1-3{,}5|x|)$$

Числитель равен противоположному выражению в скобках:$$3{,}5|x|-1=-(1-3{,}5|x|)$$

Область определения исходной функции: $x\ne1$, поскольку знаменатель $1-x$ не должен быть равен нулю.

Так как $x-1=-(1-x)$, при $x\ne1$ дробь упрощается:$$y=\dfrac{(x^2+0{,}25)(x-1)}{1-x}=-(x^2+0{,}25)=-x^2-0{,}25$$

Преобразуем уравнение первой части функции:$$y = x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 + 1$$

Это парабола с вершиной $(2; 1)$, ветви направлены вверх. Из-за условия $x \ge 1$ на графике есть закрашенная точка $(1; 2)$, а левая часть параболы берётся только начиная с этой точки.

Область определения исходной функции задаётся условием $1-x \ne 0$, поэтому $x \ne 1$.$$x \ne 1$$

Сократим множитель $x-1$, поскольку $1-x=-(x-1)$:$$y=\dfrac{(x^2+4)(x-1)}{1-x}=-(x^2+4)=-x^2-4,\quad x\ne1$$

Найдём область определения исходной функции. Знаменатель не должен обращаться в ноль:$$|x|-1{,}5x^2\ne0$$

При $x>0$ имеем $|x|=x$. Поэтому$$y=\frac{1{,}5x-1}{x-1{,}5x^2}=\frac{-(1-1{,}5x)}{x(1-1{,}5x)}=-\frac1x$$

Знаменатель исходной дроби не должен обращаться в ноль, поэтому область определения: $x\ne-1$.$$D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)$$

Разложим выражение в числителе на множители и сократим дробь с учётом ограничения $x\ne-1$.$$y=\frac{0{,}75x(x+1)|x|}{x+1}=0{,}75x|x|,\quad x\ne-1$$

Первую часть функции преобразуем к вершиной форме:$$y = x^2 - 6x + 10 = (x - 3)^2 + 1, \quad x \ge 1$$

Это правая часть параболы с вершиной $(3;1)$, заданная при $x \ge 1$. В точке $x = 1$ она принимает значение $y = 5$. При $1 \le m < 5$ горизонтальная прямая пересекает параболу в двух точках, при $m = 5$ также в двух точках, при $m > 5$…

Разложим числитель на множители:$$0{,}75x^2-1{,}5x=0{,}75x(x-2)$$

Область определения исходной функции задаётся условием $x\ne 2$. При этих значениях выражение упрощается:$$y=\frac{0{,}75x(x-2)|x|}{x-2}=0{,}75x|x|,\quad x\ne 2$$

Раскроем модуль. При $x < -6$ имеем $|x+6|=-(x+6)$, а при $x\geqslant -6$ имеем $|x+6|=x+6$.$$y=\begin{cases}-x^2-15x-54=-(x+6)(x+9),&x<-6,\\-x^2-7x-6=-(x+1)(x+6),&x\geqslant -6.\end{cases}$$

Левая ветвь — часть параболы $y=-(x+6)(x+9)$. Её вершина имеет абсциссу $x=-\dfrac{15}{2}$ и ординату $y=\dfrac{9}{4}$. Она проходит через точки $(-9,0)$ и $(-6,0)$.$$y=-\left(x+\dfrac{15}{2}\right)^2+\dfrac{9}{4}$$

Знаменатель не должен обращаться в ноль, поэтому область определения функции: $x\ne 3$.$$D(y)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty)$$

При $x\ne 3$ сокращаем множитель $x-3$ в числителе и знаменателе.$$y=\frac{x(x-3)|x|}{x-3}=x|x|$$

Область определения исходной функции определяется условием $|x|-2x^2\ne0$. При $x\ge0$ знаменатель равен $x(1-2x)$, а при $x<0$ — $-x(1+2x)$. Поэтому $x\ne0$, $x\ne\dfrac12$, $x\ne-\dfrac12$.$$|x|-2x^2\ne0$$

При $x>0$ имеем $|x|=x$, поэтому функция упрощается:$$y=\frac{2x-1}{x-2x^2}=\frac{2x-1}{x(1-2x)}=-\frac1x$$