Решение: График кусочной функции
Постройте график функции $y = \begin{cases} x^2 - 6x + 10, & x \ge 1, \\ x + 2, & x < 1. \end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
6 шаговПервую часть функции преобразуем к вершиной форме:
$$y = x^2 - 6x + 10 = (x - 3)^2 + 1, \quad x \ge 1$$Это правая часть параболы с вершиной $(3;1)$, заданная при $x \ge 1$. В точке $x = 1$ она принимает значение $y = 5$. При $1 \le m < 5$ горизонтальная прямая пересекает параболу в двух точках, при $m = 5$ также в двух точках, при $m > 5$ — в одной, а при $m < 1$ — ни в одной. При $m = 1$ имеется одна точка пересечения с вершиной.
Вторая часть — луч прямой $y = x + 2$ при $x < 1$. Поэтому её значения удовлетворяют неравенству $y < 3$. Для каждого $m < 3$ эта часть даёт одну точку пересечения, а при $m \ge 3$ — ни одной.
Если $m < 1$, имеется одна точка на прямой. При $m = 1$ имеется одна точка на прямой и одна на параболе, всего две точки.
При $1 < m < 3$ получаются три точки: одна на прямой и две на параболе. При $3 \le m \le 5$ прямая точек не даёт, а парабола пересекается с горизонтальной прямой в двух точках.
При $m > 5$ парабола пересекается с прямой $y = m$ только в одной точке.
m = 1 или 3 \le m \le 5, то есть $m \in \{1\} \cup [3;5]$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение $x \ge 1$ для параболы и $x < 1$ для прямой.
Считать точку $(1;3)$ принадлежащей линейной части графика.
Забыть, что при $m = 5$ парабола пересекается с прямой в двух точках: при $x = 1$ и $x = 5$.