Решение: График дробно-рациональной функции
Постройте график функции $y=\dfrac{1{,}5|x|-1}{|x|-1{,}5x^2}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ не имеет с графиком общих точек.
Решение по шагам
10 шаговНайдём область определения исходной функции. Знаменатель не должен обращаться в ноль:
$$|x|-1{,}5x^2\ne0$$При $x>0$ имеем $|x|=x$. Поэтому
$$y=\frac{1{,}5x-1}{x-1{,}5x^2}=\frac{-(1-1{,}5x)}{x(1-1{,}5x)}=-\frac1x$$В этом случае сокращение допустимо только при $x\ne\frac23$. Значит, на положительной полуоси график совпадает с ветвью $y=-\frac1x$, но имеет выколотую точку
$$\left(\frac23;-\frac32\right)$$При $x<0$ имеем $|x|=-x$. Тогда
$$y=\frac{-1{,}5x-1}{-x-1{,}5x^2}=\frac{-(1+1{,}5x)}{-x(1+1{,}5x)}=\frac1x$$Здесь $x\ne-\frac23$, поэтому на отрицательной полуоси график совпадает с ветвью $y=\frac1x$, но имеет выколотую точку
$$\left(-\frac23;-\frac32\right)$$Для пересечения с прямой $y=kx$ на положительной полуоси приравниваем значения функций:
$$kx=-\frac1x\quad\Longrightarrow\quad k=-\frac1{x^2}<0$$Следовательно, при любом $k<0$ пересечение существует, кроме случая, когда единственная точка пересечения является выколотой. Это происходит при $x=\frac23$:
$$k=-\frac1{(2/3)^2}=-\frac94$$На отрицательной полуоси:
$$kx=\frac1x\quad\Longrightarrow\quad k=\frac1{x^2}>0$$При любом $k>0$ пересечение существует, кроме случая $x=-\frac23$, которому соответствует
$$k=\frac1{(-2/3)^2}=\frac94$$При $k=0$ прямая совпадает с осью $Ox$, но график функции не пересекает её: значения $y=0$ достигаются только в точках, исключённых из области определения.
График состоит из частей гипербол $y=-\frac1x$ при $x>0$ и $y=\frac1x$ при $x<0$ с выколотыми точками $\left(\frac23;-\frac32\right)$ и $\left(-\frac23;-\frac32\right)$. Прямая $y=kx$ не имеет общих точек с графиком при $k\in\left\{-\frac94;0;\frac94\right\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
После сокращения не исключают значения $x=\frac23$ и $x=-\frac23$, при которых исходная дробь не определена.
Считают, что при любом отрицательном или положительном $k$ прямая пересекает график, не учитывая выколотые точки.
Забывают проверить случай $k=0$.