Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Функции и графики» — с ответами

Разложим знаменатель исходной дроби на множители и определим область определения:$$x^2 + 5x = x(x+5),\quad x \ne 0,\ x \ne -5$$

Сократим общий множитель $x+5$, помня, что значение $x=-5$ запрещено:$$y = 5 - \dfrac{x+5}{x(x+5)} = 5 - \dfrac{1}{x},\quad x \ne 0,-5$$

На промежутке $x \geq -2$ задана парабола. Преобразуем её уравнение:$$-x^2-2x-3=-(x+1)^2-2$$

Вершина параболы имеет координаты $(-1;-2)$, ветви направлены вниз. Точка при $x=-2$ равна $(-2;-3)$ и принадлежит графику. На луче $x \geq -2$ парабола принимает все значения $y \leq -2$.

Раскроем модуль по определению. При $x<-6$ имеем $|x+6|=-(x+6)$, поэтому$$y=x^2+11x-4\bigl(-(x+6)\bigr)+30=x^2+15x+54=(x+6)(x+9)$$

При $x\geqslant-6$ имеем $|x+6|=x+6$, поэтому$$y=x^2+11x-4(x+6)+30=x^2+7x+6=(x+1)(x+6)$$

Раскроем знаки модулей. При $x<0$ имеем $|x|=-x$, поэтому$$y=x(-x)-(-x)-3x=-x^2-2x=1-(x+1)^2$$

При $x\geqslant 0$ имеем $|x|=x$, поэтому$$y=x^2-x-3x=x^2-4x=(x-2)^2-4$$

Раскроем модуль по определению. При $x<0$ имеем $|x|=-x$, а при $x\geqslant0$ — $|x|=x$.$$y=\begin{cases}-x^2-5x, & x<0,\\ x^2-7x, & x\geqslant0.\end{cases}$$

График на промежутке $x<0$ — левая часть параболы $y=-x^2-5x$. Её вершина имеет абсциссу $x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-5}{2(-1)}=-\dfrac{5}{2}$.$$y\left(-\dfrac{5}{2}\right)=-\left(-\dfrac{5}{2}\right)^2-5\left(-\dfrac{5}{2}\right)=\dfrac{25}{4}$$

Раскроем модуль по определению. При $x<3$ имеем $|x-3|=3-x$, а при $x\geqslant3$ имеем $|x-3|=x-3$.$$y=\begin{cases}5(3-x)-x^2+7x-12=-x^2+2x+3=4-(x-1)^2, & x<3,\\ 5(x-3)-x^2+7x-12=-x^2+12x-27=9-(x-6)^2, & x\geqslant3.\end{cases}$$

График состоит из левой части параболы $y=4-(x-1)^2$ с вершиной $(1,4)$ и правой части параболы $y=9-(x-6)^2$ с вершиной $(6,9)$. Обе части соединяются в точке $(3,0)$.

Раскроем модуль по определению. При $x < 2$ имеем $|x - 2| = 2 - x$, поэтому$$y = x^2 - 5x - 5(2 - x) + 6 = x^2 - 4$$

При $x \geq 2$ имеем $|x - 2| = x - 2$, поэтому$$y = x^2 - 5x - 5(x - 2) + 6 = x^2 - 10x + 16 = (x - 5)^2 - 9$$

Разложим знаменатель на множители и определим область определения:$$x^2 - 3x = x(x-3),\quad x \ne 0,\ x \ne 3$$

Сократим дробь при допустимых значениях $x$:$$y = \frac{x-3}{x(x-3)} = \frac{1}{x},\quad x \ne 0,\ x \ne 3$$

На промежутке $x<3$ построим часть прямой $y=x-4$. При $x\to3- $ значение $y$ стремится к $-1$, поэтому точка $(3;-1)$ на этой части не принадлежит графику.$$y=x-4,\quad y<-1$$

На отрезке $3\le x\le4$ построим отрезок прямой $y=-1{,}5x+4{,}5$. Его концы: $(3;0)$ и $(4;-1{,}5)$, обе точки входят в график.$$y=-1{,}5x+4{,}5,\quad -1{,}5\le y\le0$$

Найдём область определения функции. Знаменатель не должен обращаться в ноль: $|x| - x^2 \ne 0$. Поэтому $x \ne -1$, $x \ne 0$, $x \ne 1$.$$|x| - x^2 = 0 \Longleftrightarrow x \in \{-1,0,1\}$$

При $x < 0$ имеем $|x| = -x$, поэтому дробь упрощается:$$y = \frac{-x-1}{-x-x^2} = \frac{1}{x}, \quad x < 0,\ x \ne -1$$

Найдём область определения исходной функции. Знаменатель не должен обращаться в ноль:$$x^2-x=x(x-1)\ne 0,\quad x\ne 0,\quad x\ne 1$$

Разложим знаменатель на множители и сократим дробь с учётом ограничения $x\ne 1$:$$y=-5-\frac{x-1}{x(x-1)}=-5-\frac{1}{x},\quad x\ne 0,1$$

Найдём область определения функции. Знаменатель не должен обращаться в ноль: $|x|-2{,}5x^2\ne0$. Поэтому $x\ne0$, $x\ne\dfrac{2}{5}$ и $x\ne-\dfrac{2}{5}$.

При $x>0$ имеем $|x|=x$:$$y=\frac{2{,}5x-1}{x-2{,}5x^2}=\frac{2{,}5x-1}{x(1-2{,}5x)}=-\frac1x$$

Разложим выражение под знаком модуля на множители и найдём его нули:$$x^2 + 4x - 5 = (x + 5)(x - 1),\quad x_1 = -5,\quad x_2 = 1$$

Парабола $y = x^2 + 4x - 5$ направлена ветвями вверх. Её вершина имеет координаты:$$x_0 = -\frac{4}{2} = -2,\quad y_0 = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = -9$$

При $x<4$ график задаётся формулой $y=x$. Это часть прямой, заканчивающаяся в точке $(4;4)$, которая не входит в график, поэтому точка $(4;4)$ отмечается выколотой.

При $x\geq 4$ имеем $y=x^2-10x+27=(x-5)^2+2$. Это правая часть параболы с вершиной $(5;2)$. При $x=4$ получаем $y=3$, поэтому точка $(4;3)$ входит в график.

Найдём область определения функции. Знаменатель не должен обращаться в ноль:$$|x|-3x^2\ne0$$

Уравнение $|x|-3x^2=0$ даёт $x=0$ или $|x|=\dfrac13$. Поэтому $x\ne0$, $x\ne\pm\dfrac13$.

Раскроем модули в зависимости от знака $x$. Если $x<0$, то $|x|=-x$, поэтому$$y=x(-x)-(-x)-5x=-x^2-4x$$

Если $x\geqslant 0$, то $|x|=x$, поэтому$$y=x^2-x-5x=x^2-6x$$

Раскроем знак модуля. При $x < -7$ имеем $|x+7| = -(x+7)$, поэтому$$y = x^2 + 13x + 3(x+7) + 42 = x^2 + 16x + 63 = (x+8)^2 - 1$$

При $x \geq -7$ имеем $|x+7| = x+7$, поэтому$$y = x^2 + 13x - 3(x+7) + 42 = x^2 + 10x + 21 = (x+5)^2 - 4$$

Знаменатель исходной дроби не должен обращаться в ноль, поэтому $x\ne -2$.$$-2-x\ne 0\quad\Rightarrow\quad x\ne -2$$

Сократим множитель $x+2$, учитывая область определения.$$y=\frac{(x^2+1)(x+2)}{-(x+2)}=-x^2-1,\quad x\ne -2$$

На первом участке строится часть прямой $y=2{,}5x-3{,}5$ при $x<1$. При $x\to1-0$ значение $y$ стремится к $-1$, но точка с координатами $(1;-1)$ не принадлежит графику. Поэтому значения функции на этом участке образуют промежуток…

На втором участке строится отрезок прямой $y=-2{,}5x+4$ при $1\le x\le3$. Его концы имеют координаты $(1;1{,}5)$ и $(3;-3{,}5)$, поэтому множество значений равно $[-3{,}5;1{,}5]$.

Первую часть функции преобразуем: $x^2+4x+4=(x+2)^2$. Это парабола с вершиной в точке $(-2;0)$, из которой берётся только часть при $x\ge -4$. Граничная точка имеет координаты $(-4;4)$.$$y=(x+2)^2,\quad x\ge -4$$

Для горизонтальной прямой $y=m$ точки пересечения с параболой находятся из уравнения $(x+2)^2=m$. При $m<0$ решений нет, при $m=0$ одна точка. При $0<m<4$ обе корня удовлетворяют условию $x\ge -4$, а при $m=4$ получаем точки $(-4;4)$ и…$$x=-2\pm\sqrt m$$