Решение: График кусочной функции
Постройте график функции
$y=\begin{cases}x-4, & x<3,\\-1{,}5x+4{,}5, & 3\le x\le 4,\\1{,}5x-7{,}5, & x>4.\end{cases}$
Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
6 шаговНа промежутке $x<3$ построим часть прямой $y=x-4$. При $x\to3- $ значение $y$ стремится к $-1$, поэтому точка $(3;-1)$ на этой части не принадлежит графику.
$$y=x-4,\quad y<-1$$На отрезке $3\le x\le4$ построим отрезок прямой $y=-1{,}5x+4{,}5$. Его концы: $(3;0)$ и $(4;-1{,}5)$, обе точки входят в график.
$$y=-1{,}5x+4{,}5,\quad -1{,}5\le y\le0$$На промежутке $x>4$ построим часть прямой $y=1{,}5x-7{,}5$. При $x\to4+$ значение стремится к $-1{,}5$, но точка $(4;-1{,}5)$ для этой части не добавляется.
$$y=1{,}5x-7{,}5,\quad y>-1{,}5$$При $m=-1{,}5$ горизонтальная прямая пересекает первую часть в одной точке и отрезок второй части в точке $(4;-1{,}5)$; с третьей частью пересечения нет.
$$1+1+0=2$$При $-1{,}5<m<-1$ прямая пересекает все три части, поэтому общих точек три. При $m=-1$ первая часть пересечения не имеет, а вторая и третья дают по одной точке.
$$m=-1:\quad 0+1+1=2$$При $-1<m\le0$ пересечения с первой частью нет, а со второй и третьей частями происходит по одному пересечению. При $m>0$ остаётся только одно пересечение с третьей частью.
$$-1\le m\le0:\quad 0+1+1=2$$Ровно две общие точки получаются при $m=-1{,}5$ или $-1\le m\le0$, то есть $m\in\{-1{,}5\}\cup[-1;0]$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать строгие условия $x<3$ и $x>4 при построении крайних частей графика.
Считать точку $(4;-1{,}5)$ дважды или, наоборот, исключать её из графика.
Включать значение $m=-1$ в область значений первой части, хотя точка $(3;-1)$ не принадлежит графику.