Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Функции и графики» — с ответами

Первую часть функции преобразуем к виду вершины параболы:$$-x^2+10x-21=-(x-5)^2+4$$

Это парабола с вершиной $(5;4)$, ветви направлены вниз. Рассматривается только часть при $x\ge 3$. При $x=3$ получаем $y=0$, поэтому точка $(3;0)$ принадлежит графику.

Область определения функции: знаменатель не должен обращаться в ноль, поэтому $x \ne 1$.$$D(y)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty)$$

При $x < 0$ значение модуля равно $|x|=-x$. Сокращая общий множитель $x-1$, получаем:$$y=\frac{(x^2-x)(-x)}{x-1}=\frac{x(x-1)(-x)}{x-1}=-x^2$$

Область определения исходной функции задаётся условием $-1-x\ne0$, то есть $x\ne-1$.$$x\ne-1$$

Так как $-1-x=-(x+1)$, при $x\ne-1$ сокращаем множитель $x+1$.$$y=\frac{(x^2+6{,}25)(x+1)}{-(x+1)}=-(x^2+6{,}25)=-x^2-6{,}25$$

При $x \geq -2$ строим часть параболы $y = x^2 + 2$. Её вершина имеет координаты $(0; 2)$, а точка при $x = -2$ имеет координаты $(-2; 6)$ и входит в график.

При $x < -2$ строим левую ветвь гиперболы $y = \dfrac{6}{x}$. При приближении $x$ к $-2$ слева значение $y$ стремится к $-3$, но точка с ординатой $-3$ не входит в график. При $x \to -\infty$ значение $y$ стремится к $0$.

Разложим квадратный трёхчлен на множители и найдём его нули:$$x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1), \quad x=-3,\; x=1$$

Вершина параболы $y=x^2+2x-3$ имеет абсциссу $x=-1$. Значение функции в вершине равно $-4$.$$y(-1)=(-1)^2+2(-1)-3=-4$$

При $x\geq -1$ строим часть параболы $y=x^2+1$. Её вершина имеет координаты $(0;1)$, а точка при $x=-1$ — координаты $(-1;2)$ и входит в график.$$y=x^2+1,\quad x\geq -1$$

При $x<-1$ строим левую ветвь гиперболы $y=\dfrac{4}{x}$. При $x\to-1- $ значение $y\to-4$, но точка $(-1;-4)$ не входит в график; при $x\to-\infty$ значение $y\to0-$. Поэтому область значений этой ветви — $(-4;0)$.$$y=\dfrac{4}{x},\quad x<-1$$

Раскроем модуль по определению. При $x<0$ имеем $|x|=-x$, а при $x\geq 0$ имеем $|x|=x$.$$y=\begin{cases}-x(x+2)-3x=-x^2-5x, & x<0,\\ x(x+2)-3x=x^2-x, & x\geq 0.\end{cases}$$

Левая часть графика — ветвь параболы $y=-x^2-5x$. Её вершина имеет абсциссу $x=-\frac{5}{2}$ и ординату $y=\frac{25}{4}$. Поэтому с прямой $y=m$ левая ветвь имеет две точки при $m<\frac{25}{4}$, одну точку при $m=\frac{25}{4}$ и ни одной…$$y=-\left(x+\frac52\right)^2+\frac{25}{4}$$

Первую часть функции преобразуем к виду параболы с выделенным квадратом:$$y=-x^2-4x+1=-(x+2)^2+5$$

Это парабола с ветвями, направленными вниз, и вершиной $(-2;5)$. На заданной части $x\geq -3$ она проходит через включённую точку $(-3;4)$, достигает максимума $5$, а затем убывает.

Раскроем модули по знаку $x$. При $x<0$ имеем $|x|=-x$, поэтому $y=-x^2-5x$. При $x\geqslant0$ имеем $|x|=x$, поэтому $y=x^2-x$.$$y=\begin{cases}-x^2-5x, & x<0,\\ x^2-x, & x\geqslant0.\end{cases}$$

Левая ветвь является частью параболы, направленной вниз. Её вершина имеет координаты $\left(-\dfrac52,\dfrac{25}{4}\right)$, а при $x\to0-$ значение функции стремится к нулю. Поэтому горизонтальная прямая пересекает левую ветвь: в одной…$$y=-x^2-5x=-\left(x+\frac52\right)^2+\frac{25}{4}$$

Раскроем знак модуля. При $x<4$ имеем $|x-4|=4-x$, поэтому$$y=x^2-9x-2(4-x)+20=x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$$

При $x\geqslant4$ имеем $|x-4|=x-4$, поэтому$$y=x^2-9x-2(x-4)+20=x^2-11x+28=(x-4)(x-7)$$

Область определения функции задаётся условием $1-x\ne0$, поэтому $x\ne1$.

Так как $x-1=-(1-x)$, при $x\ne1$ получаем:$$y=\frac{(x^2+2{,}25)(x-1)}{1-x}=-(x^2+2{,}25)=-x^2-\frac94$$

Обозначим $a=\dfrac{x}{3{,}5}$ и $b=\dfrac{3{,}5}{x}$. Тогда исходное выражение имеет вид $\dfrac{|a-b|+a+b}{2}=\max(a,b)$.

Область определения функции: $x\neq 0$. Сравним $\dfrac{x}{3{,}5}$ и $\dfrac{3{,}5}{x}$. Равенство выполняется при $x^2=3{,}5^2$, то есть при $x=\pm 3{,}5$.

Раскроем модуль при $x<3$ и при $x\geqslant3$.$$y=\begin{cases}4(3-x)-x^2+8x-15,&x<3,\\4(x-3)-x^2+8x-15,&x\geqslant3.\end{cases}$$

Упростим выражения и приведём их к вершиной форме.$$y=\begin{cases}-x^2+4x-3=1-(x-2)^2,&x<3,\\-x^2+12x-27=9-(x-6)^2,&x\geqslant3.\end{cases}$$

Первую часть функции преобразуем к виду параболы с вершиной:$$y=x^2+6x+9=(x+3)^2,\quad x\geq -5$$

Это правая часть параболы с вершиной $(-3;0)$. На границе области $x=-5$ парабола принимает значение $y=4$, поэтому точка $(-5;4)$ принадлежит графику. При $x\geq -5$ парабола сначала убывает от $4$ до $0$, а затем возрастает.

Раскроем модуль по определению. При $x<0$ имеем $|x|=-x$, а при $x\geqslant 0$ имеем $|x|=x$.$$y=\begin{cases}-x^2-6x, & x<0,\\x^2-4x, & x\geqslant 0.\end{cases}$$

Левая часть графика — ветвь параболы, направленная вниз. Преобразуем её уравнение к виду с вершиной.$$y=-x^2-6x=-(x+3)^2+9$$

Первую часть функции преобразуем к виду параболы:$$y = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2, \quad x \geq -2$$

Вершина параболы имеет координаты $(1, 0)$. При пересечении с прямой $y = m$ получаем:$$(x - 1)^2 = m, \quad x = 1 \pm \sqrt{m}$$