Постройте график функции $y = \dfrac{(0{,}25x^2 - 0{,}5x)\cdot |x|}{x - 2}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
- 1
Область определения исходной функции задаётся условием $x - 2 \ne 0$, то есть $x \ne 2$.$$D(y)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty)$$
- 2
Разложим числитель на множители: $0{,}25x^2 - 0{,}5x = 0{,}25x(x-2)$.$$y=\dfrac{0{,}25x(x-2)|x|}{x-2}$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+2{,}25)(x+1)}{-1-x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
- 1
Область определения исходной функции задаётся условием $x\ne-1$, поскольку знаменатель не должен обращаться в ноль.$$x+1\ne0\quad\Rightarrow\quad x\ne-1$$
- 2
Сократим множитель $x+1$, сохранив ограничение $x\ne-1$.$$y=\frac{(x^2+2{,}25)(x+1)}{-(x+1)}=-(x^2+2{,}25)=-x^2-2{,}25,\quad x\ne-1$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=|x|(x-1)-5x$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
- 1
Раскроем модуль по определению. При $x<0$ имеем $|x|=-x$, а при $x\geqslant 0$ имеем $|x|=x$.$$|x|=\begin{cases}-x,&x<0,\\x,&x\geqslant0\end{cases}$$
- 2
На промежутке $x<0$ функция задаётся формулой параболы с ветвями вниз.$$y=-x(x-1)-5x=-x^2-4x=4-(x+2)^2$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=\dfrac{4|x|-1}{|x|-4x^2}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ не имеет с графиком общих точек.
- 1
Разложим знаменатель и учтём область определения:$$|x|-4x^2=|x|(1-4|x|),\quad x\ne0,\quad |x|\ne\dfrac14$$
- 2
Так как $1-4|x|=-(4|x|-1)$, функцию можно сократить на $4|x|-1$ при условии $|x|\ne\dfrac14$:$$y=\dfrac{4|x|-1}{|x|(1-4|x|)}=-\dfrac1{|x|}$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=x|x|+3|x|-5x$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
- 1
Раскроем знаки модуля на двух промежутках.$$y=\begin{cases}-x^2-8x=16-(x+4)^2, & x<0,\\ x^2-2x=(x-1)^2-1, & x\geqslant 0.\end{cases}$$
- 2
При $x<0$ получаем левую ветвь параболы, направленную вниз, с вершиной $(-4;16)$. Точка с абсциссой $0$ в эту ветвь не входит.
Ещё 4 қадам — толық шешімде
206ФИПИ B50355№ 22Күрделі Постройте график функции $y = |x^2 - 9|$. Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?
- 1
Найдём нули выражения под знаком модуля: $x^2 - 9 = 0$, поэтому $x = -3$ и $x = 3$.
- 2
Раскроем модуль по промежуткам:$$y = |x^2 - 9| = \begin{cases}x^2 - 9, & x \leq -3 \text{ или } x \geq 3,\\ 9 - x^2, & -3 \leq x \leq 3.\end{cases}$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=x|x|-|x|-2x$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
- 1
Раскроем модули в зависимости от знака $x$. Если $x<0$, то $|x|=-x$, поэтому функция принимает вид:$$y=x(-x)-(-x)-2x=-x^2-x$$
- 2
Если $x\geqslant 0$, то $|x|=x$, поэтому:$$y=x^2-x-2x=x^2-3x$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
208ФИПИ B745DE№ 22Күрделі Постройте график функции $y = \left|x^2 + 5x + 4\right|$. Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?
- 1
Разложим квадратный трёхчлен на множители и найдём его нули:$$x^2 + 5x + 4 = (x+4)(x+1),\quad x_1=-4,\ x_2=-1$$
- 2
Вершина параболы $y = x^2 + 5x + 4$ имеет координаты:$$x_0=-\frac{5}{2},\quad y_0=\left(-\frac{5}{2}\right)^2+5\left(-\frac{5}{2}\right)+4=-\frac{9}{4}$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
209ФИПИ B80D72№ 22Күрделі Постройте график функции $y = \left|x^2 - 4x + 3\right|$. Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?
- 1
Рассмотрим параболу $y=x^2-4x+3$. Преобразуем выражение:$$x^2-4x+3=(x-2)^2-1=(x-1)(x-3)$$
- 2
Парабола пересекает ось абсцисс в точках $(1;0)$ и $(3;0)$, а её вершина имеет координаты $(2;-1)$. Под знаком модуля отрицательная часть графика отражается относительно оси абсцисс.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y = 4|x+2| - x^2 - 3x - 2$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
- 1
Раскроем модуль в зависимости от знака выражения $x+2$.$$y=\begin{cases}-4(x+2)-x^2-3x-2=-x^2-7x-10, & x<-2,\\4(x+2)-x^2-3x-2=-x^2+x+6, & x\geqslant -2.\end{cases}$$
- 2
Левая часть графика — ветвь параболы $y=-x^2-7x-10$. Её вершина имеет абсциссу $x=-\dfrac{7}{2}$ и ординату $y=\dfrac{9}{4}$. При $x=-2$ значение выражения равно $0$, но точка с этой абсциссой в левую часть не входит.
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y = \begin{cases} x^2 + 2x + 1, & x \geq -2, \\ x + 6, & x < -2. \end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
- 1
Первую часть функции преобразуем к виду параболы с вершиной в точке $(-1,0)$: $y=x^2+2x+1=(x+1)^2$. Рассматривается только ветвь при $x\geq-2$; точка $(-2,1)$ входит в график.$$y=(x+1)^2$$
- 2
Для пересечения параболы с прямой $y=m$ решаем уравнение $(x+1)^2=m$. При $m<0$ решений нет, при $m=0$ есть одно решение $x=-1$. При $0<m\leq1$ оба корня принадлежат области $x\geq-2$, поэтому точек две. При $m>1$ левый корень меньше…
Ещё 2 қадам — толық шешімде
212ФИПИ C0BD4C№ 22Күрделі Постройте график функции $y = \left|x^2 + 5x + 6\right|$. Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?
- 1
Разложим выражение под знаком модуля на множители:$$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$$
- 2
Нули функции имеют абсциссы $x=-3$ и $x=-2$. Вершина исходной параболы находится в точке с абсциссой $x=-\frac52$:$$y_0=\left(-\frac52\right)^2+5\left(-\frac52\right)+6=-\frac14$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=-5-\dfrac{x-2}{x^2-2x}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек.
- 1
Найдём область определения исходной функции. Знаменатель не должен обращаться в ноль:$$x^2-2x=x(x-2)\ne0,\quad x\ne0,\ x\ne2$$
- 2
Сократим дробь на множитель $x-2$, но сохраним ограничение $x\ne2$:$$y=-5-\dfrac{x-2}{x(x-2)}=-5-\dfrac1x,\quad x\ne0,\ x\ne2$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=\begin{cases}x-0{,}5, & \text{если } x<-2,\\-2x-6{,}5, & \text{если } -2\le x\le -1,\\x-3{,}5, & \text{если } x>-1,\end{cases}$ и определите, при каких значениях $m$…
- 1
Для первого участка строим луч прямой $y=x-0{,}5$ при $x<-2$. При $x=-2$ значение равно $y=-2{,}5$, но точка $(-2;-2{,}5)$ не входит в этот участок.$$y=x-0{,}5,\quad x<-2$$
- 2
Для второго участка строим отрезок прямой $y=-2x-6{,}5$ на отрезке $[-2;-1]$. Его концы: $(-2;-2{,}5)$ и $(-1;-4{,}5)$.$$y(-2)=-2{,}5,\quad y(-1)=-4{,}5$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=\begin{cases}-x^2-2x+1, & x\geqslant -3,\\-x-2, & x<-3.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
- 1
Первую часть функции преобразуем к виду параболы с выделенным квадратом:$$y=-x^2-2x+1=2-(x+1)^2$$
- 2
Это парабола, ветви которой направлены вниз. Её вершина имеет координаты $(-1;2)$. Рассматривается только часть параболы при $x\geqslant -3$. В граничной точке получаем $y(-3)=-2$, поэтому на отрезке $[-3;-1]$ функция возрастает от $-2$…
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=\dfrac{1}{2}\left(\left|\dfrac{x}{2}-\dfrac{2}{x}\right|+\dfrac{x}{2}+\dfrac{2}{x}\right)$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну…
- 1
Область определения функции: $x\neq 0$. Обозначим $a=\dfrac{x}{2}$ и $b=\dfrac{2}{x}$. Тогда исходное выражение имеет вид $\dfrac{|a-b|+a+b}{2}=\max(a,b)$.$$\dfrac{|a-b|+a+b}{2}=\max(a,b)$$
- 2
Ветви сравниваются по равенству $\dfrac{x}{2}=\dfrac{2}{x}$, откуда $x^2=4$ и $x=\pm2$.
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+3x)\cdot|x|}{x+3}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
- 1
Знаменатель не должен обращаться в ноль, поэтому область определения: $x\ne-3$.$$D(y)=(-\infty;-3)\cup(-3;+\infty)$$
- 2
При допустимых значениях $x$ сократим множитель $x+3$ в числителе и знаменателе.$$y=\dfrac{x(x+3)|x|}{x+3}=x|x|,\quad x\ne-3$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y = \dfrac{(0{,}5x^2 - 2x) \cdot |x|}{x - 4}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
- 1
Найдём область определения исходной функции: знаменатель не должен обращаться в ноль.$$x - 4 \ne 0,\quad x \ne 4$$
- 2
Разложим числитель на множители и сократим дробь при условии $x \ne 4$.$$y = \dfrac{0{,}5x(x - 4)|x|}{x - 4} = 0{,}5x|x|$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=\dfrac{(0{,}5x^2+0{,}5x)\cdot|x|}{x+1}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
- 1
Область определения исходной функции задаётся условием $x+1\ne0$, то есть $x\ne-1$.$$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$$
- 2
Числитель можно разложить на множители:$$0{,}5x^2+0{,}5x=0{,}5x(x+1)$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=\dfrac{(0{,}5x^2-x)\cdot |x|}{x-2}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
- 1
Область определения функции: знаменатель не должен обращаться в ноль, поэтому $x\ne 2$.
- 2
Раскроем модуль. При $x<0$ имеем $|x|=-x$, а при $x\ge 0$ имеем $|x|=x$. Поэтому$$y=\begin{cases}\dfrac{-0{,}5x^3+x^2}{x-2},&x<0,\\[6pt]\dfrac{0{,}5x^3-x^2}{x-2},&x\ge 0,\ x\ne2.\end{cases}$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде