Решение: График кусочной функции
Постройте график функции $y=\begin{cases}-x^2-2x+1, & x\geqslant -3,\\-x-2, & x<-3.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
6 шаговПервую часть функции преобразуем к виду параболы с выделенным квадратом:
$$y=-x^2-2x+1=2-(x+1)^2$$Это парабола, ветви которой направлены вниз. Её вершина имеет координаты $(-1;2)$. Рассматривается только часть параболы при $x\geqslant -3$. В граничной точке получаем $y(-3)=-2$, поэтому на отрезке $[-3;-1]$ функция возрастает от $-2$ до $2$, а при $x\geqslant -1$ убывает от $2$ до $-\infty$.
Вторая часть является лучом прямой $y=-x-2$ при $x<-3$. При приближении к $x=-3$ слева значение стремится к $1$, но точка с координатами $(-3;1)$ не входит в график. Следовательно, линейная часть имеет значения $y>1$.
Для параболы прямая $y=m$ имеет две общие точки при $-2\leqslant m<2$. При $m=2$ имеется одна общая точка — вершина, а при $m<-2$ также одна точка на правой ветви.
Если $m\leqslant 1$, линейная часть графика с прямой $y=m$ не пересекается. Поэтому ровно две точки пересечения с параболой получаются при $-2\leqslant m\leqslant 1$.
При $1<m<2$ линейная часть даёт ещё одну точку пересечения, поэтому всего получается три точки. При $m=2$ парабола даёт одну точку, а линейная часть — ещё одну, итого две точки.
График состоит из части параболы $y=2-(x+1)^2$ при $x\geqslant -3$ и луча прямой $y=-x-2$ при $x<-3$. Ровно две общие точки прямая $y=m$ имеет при $m\in[-2;1]\cup\{2\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Включают точку $(-3;1)$ в линейную часть графика.
Забывают, что парабола задана только при $x\geqslant -3$.
Считают, что при $1<m<2$ имеется две точки пересечения, не учитывая линейную часть.
Не включают значение $m=2$, при котором одна точка лежит на вершине параболы, а другая — на луче прямой.