Постройте график функции $y = \begin{cases} -x^2 + 8x - 17, & \text{при } x \ge 2, \\ -x - 2, & \text{при } x < 2. \end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком…
- 1
Преобразуем квадратный трёхчлен:$$-x^2 + 8x - 17 = -(x - 4)^2 - 1$$
- 2
Первая часть графика — ветвь параболы с вершиной в точке $(4; -1)$, построенная только при $x \ge 2$. При $x = 2$ получаем точку $(2; -5)$, включённую в график.
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y = \begin{cases} x^2 - 4x + 4, & x \ge -1, \\ -\dfrac{9}{x}, & x < -1, \end{cases}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком одну или две…
- 1
Первую часть функции преобразуем: $y = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$. Это правая часть параболы с вершиной в точке $(2, 0)$, построенная при $x \ge -1$. В граничной точке получаем $y = (-1 - 2)^2 = 9$, поэтому точка $(-1, 9)$ принадлежит…$$y = (x - 2)^2,\quad x \ge -1$$
- 2
Вторая часть $y = -\dfrac{9}{x}$ при $x < -1$ задаёт левую ветвь гиперболы в третьей? При $x < -1$ значение $x$ отрицательно, поэтому $y > 0$. При $x \to -\infty$ значение $y \to 0^+$, а при $x \to -1-$ значение $y \to 9^+$. Точка…$$0 < y < 9 \text{?}$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2+2x+1, & x\ge -4,\\ -\dfrac{36}{x}, & x<-4,\end{cases}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком одну или две общие точки.
- 1
Первую часть функции преобразуем к виду параболы:$$y=x^2+2x+1=(x+1)^2$$
- 2
Это парабола с вершиной в точке $(-1;0)$, построенная только при $x\ge -4$. На границе области определения получаем точку $(-4;9)$, включённую в график.
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=\dfrac{1}{2}\left(\left|\dfrac{x}{2{,}5}-\dfrac{2{,}5}{x}\right|+\dfrac{x}{2{,}5}+\dfrac{2{,}5}{x}\right)$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с…
- 1
Область определения функции: $x\ne0$. Обозначим $a=\dfrac{x}{2{,}5}$ и $b=\dfrac{2{,}5}{x}$. Тогда исходное выражение имеет вид $\dfrac{|a-b|+a+b}{2}=\max(a,b)$.
- 2
Сравнение дробей на промежутках области определения даёт кусочную жазба функции:
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=-4-\dfrac{x+1}{x^2+x}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек.
- 1
Разложим знаменатель на множители и найдём область определения исходной функции:$$x^2+x=x(x+1),\quad x\ne 0,\quad x\ne -1$$
- 2
Для допустимых значений $x$ сократим общий множитель $x+1$:$$y=-4-\frac{x+1}{x(x+1)}=-4-\frac{1}{x},\quad x\ne 0,-1$$
Ещё 7 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=\dfrac{1}{2}\left(\left|\dfrac{x}{3}-\dfrac{3}{x}\right|+\dfrac{x}{3}+\dfrac{3}{x}\right)$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну…
- 1
Область определения функции: $x\ne0$. Обозначим $a=\dfrac{x}{3}$ и $b=\dfrac{3}{x}$. Тогда исходное выражение равно $\max(a,b)$.$$y=\frac{|a-b|+a+b}{2}=\max(a,b)$$
- 2
Найдём, какая из величин больше. При $x>0$ имеем $\dfrac{x}{3}\ge\dfrac{3}{x}$ при $x\ge3$. Поэтому на положительной полуоси функция задаётся так:$$y=\begin{cases}\dfrac{3}{x},&0<x\le3,\\[4pt]\dfrac{x}{3},&x\ge3.\end{cases}$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y = \dfrac{(0{,}75x^2 + 2{,}25x)\cdot |x|}{x+3}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
- 1
Область определения исходной функции задаётся условием $x \ne -3$, так как знаменатель не должен обращаться в ноль.$$x+3 \ne 0 \quad \Rightarrow \quad x \ne -3$$
- 2
Разложим числитель на множители и сократим общий множитель $x+3$, помня, что значение $x=-3$ по-прежнему запрещено.$$y=\frac{0{,}75x(x+3)|x|}{x+3}=0{,}75x|x|, \quad x\ne -3$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=|x|(x+1)-3x$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
- 1
Раскроем модуль по определению. При $x<0$ имеем $|x|=-x$, а при $x\geqslant 0$ имеем $|x|=x$.$$y=\begin{cases}-x^2-4x=4-(x+2)^2, & x<0,\\x^2-2x=(x-1)^2-1, & x\geqslant 0.\end{cases}$$
- 2
Левая часть графика — ветвь параболы с вершиной $(-2;4)$, заданная при $x<0$. При $m<0$ она не пересекает прямую $y=m$; при $m=0$ имеет одну точку пересечения $(-4;0)$; при $0<m<4$ имеет две точки; при $m=4$ — одну точку; при $m>4$ — ни…
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=\dfrac{(0{,}75x^2-0{,}75x)\cdot|x|}{x-1}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
- 1
Область определения исходной функции задаётся условием $x\ne1$, так как знаменатель не должен обращаться в ноль.$$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{1\}$$
- 2
Разложим числитель на множители:$$0{,}75x^2-0{,}75x=0{,}75x(x-1)$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y = \begin{cases} -x^2 + 2x + 3, & x \geq -1, \\ -x + 1, & x < -1. \end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
- 1
Первую часть функции преобразуем к виду параболы с вершиной:$$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$$
- 2
Вершина параболы имеет координаты $(1;4)$. При $x=-1$ значение первой части равно $0$, поэтому на графике есть точка $(-1;0)$. Парабола строится только при $x\geq -1$.
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=x|x|+|x|-5x$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
- 1
Раскроем знаки модулей при $x<0$: $|x|=-x$. Поэтому левая часть графика задаётся формулой$$y=x(-x)+(-x)-5x=-x^2-6x,\quad x<0$$
- 2
При $x\geqslant 0$ имеем $|x|=x$. Поэтому правая часть графика задаётся формулой$$y=x^2+x-5x=x^2-4x,\quad x\geqslant 0$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=x|x|+2|x|-5x$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
- 1
Раскроем модули при $x\geq 0$: $|x|=x$. Поэтому правая часть графика задаётся формулой$$y=x^2+2x-5x=x^2-3x,\quad x\geq 0$$
- 2
При $x<0$ имеем $|x|=-x$. Поэтому левая часть графика задаётся формулой$$y=-x^2-2x-5x=-x^2-7x,\quad x<0$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+4)(x+1)}{-1-x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
- 1
Область определения исходной функции: $x\ne -1$, так как знаменатель $-1-x$ не должен обращаться в ноль.$$x\ne -1$$
- 2
Упростим выражение при допустимых значениях $x$: знаменатель $-1-x=-(x+1)$, поэтому множитель $x+1$ сокращается.$$y=\dfrac{(x^2+4)(x+1)}{-(x+1)}=-(x^2+4)=-x^2-4$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=\dfrac{(0{,}5x^2+2x)\cdot|x|}{x+4}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
- 1
Найдём область определения исходной функции. Знаменатель не должен обращаться в ноль, поэтому $x\ne-4$.$$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{-4\}$$
- 2
Разложим числитель на множители и сократим общий множитель $x+4$, помня об ограничении $x\ne-4$.$$y=\frac{0{,}5x(x+4)|x|}{x+4}=0{,}5x|x|,\quad x\ne-4$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=-2-\dfrac{x+4}{x^2+4x}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек.
- 1
Разложим знаменатель на множители и учтём область определения исходной функции:$$x^2+4x=x(x+4),\quad x\ne 0,\ x\ne -4$$
- 2
Сократим дробь при допустимых значениях $x$:$$y=-2-\dfrac{x+4}{x(x+4)}=-2-\dfrac{1}{x}$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=\dfrac{1}{2}\left(\left|\dfrac{x}{1{,}5}-\dfrac{1{,}5}{x}\right|+\dfrac{x}{1{,}5}+\dfrac{1{,}5}{x}\right)$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с…
- 1
Область определения функции: $x\ne0$. Обозначим $a=\dfrac{x}{1{,}5}$ и $b=\dfrac{1{,}5}{x}$. Тогда $ab=1$.$$y=\frac12\left(|a-b|+a+b\right)$$
- 2
При $x>0$ числа $a$ и $b$ положительны, поэтому $y=\max(a,b)$. Равенство $a=b$ выполняется при $x^2=2{,}25$, то есть при $x=1{,}5$. Поэтому на положительной полуоси функция задаётся так:$$y=\begin{cases}\dfrac{1{,}5}{x},&0<x\leq1{,}5,\\[4pt]\dfrac{x}{1{,}5},&x\geq1{,}5.\end{cases}$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2+4x+4, & x\geq -3,\\ -\dfrac{3}{x}, & x<-3,\end{cases}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком одну или две общие точки.
- 1
Первую часть функции преобразуем к виду функции, заданной параболой:$$y=x^2+4x+4=(x+2)^2$$
- 2
Это парабола с вершиной в точке $(-2;0)$ и осью симметрии $x=-2$. Из-за условия $x\geq -3$ на графике берётся только часть параболы, начиная с точки $(-3;1)$, которая входит в график.
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y = x^2 + 14x - 3|x + 8| + 48$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
- 1
Раскроем модуль на двух промежутках. При $x < -8$ имеем $|x+8|=-(x+8)$, поэтому$$y=x^2+14x+3(x+8)+48=x^2+17x+72=(x+8)(x+9)$$
- 2
При $x \geq -8$ имеем $|x+8|=x+8$, поэтому$$y=x^2+14x-3(x+8)+48=x^2+11x+24=(x+3)(x+8)$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y = \begin{cases} x^2 - 10x + 25, & x \ge 4, \\ x - 2, & x < 4. \end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
- 1
Преобразуем первую формулу: $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$. При $x \ge 4$ это часть параболы с вершиной $(5;0)$, проходящая через точку $(4;1)$. Точка $(4;1)$ принадлежит графику.$$y = (x - 5)^2, \quad x \ge 4$$
- 2
Вторая часть является лучом прямой $y = x - 2$ при $x < 4$. Он заканчивается в точке с координатами $(4;2)$, которая не входит в график.$$y < 2$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2-8x+14, & x\geq 3,\\ x-2, & x<3.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
- 1
Первую часть функции преобразуем к виду параболы с вершиной:$$y=x^2-8x+14=(x-4)^2-2$$
- 2
Вершина параболы имеет координаты $(4,-2)$. Так как рассматривается только область $x\geq 3$, левая граница этой части проходит через точку $(3,-1)$.
Ещё 4 қадам — толық шешімде