Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Треугольники» — с ответами

Обозначим $BC = a$, тогда $AC = 2a$, а $AB = b$.

По теореме о степени точки $A$ для двух секущих $ABK$ и $ACP$ имеем:$$AK \cdot AB = AP \cdot AC$$

Обозначим $AB=c$, $BC=a$, а половину угла $B$ — через $\alpha$. Введём координаты так, чтобы биссектриса $BE$ совпадала с осью абсцисс, а точка $B$ имела координаты $(0,0)$. Тогда можно записать:$$A=(c\cos\alpha,c\sin\alpha),\quad C=(a\cos\alpha,-a\sin\alpha)$$

Пусть $D$ — середина стороны $BC$. Тогда:$$D=\left(\frac{a\cos\alpha}{2},-\frac{a\sin\alpha}{2}\right)$$

Введём координаты: $D=(0;0)$, $A=(0;9)$. Так как $MD=6$ и точка $M$ лежит на отрезке $AD$, получаем $AM=9-6=3$, поэтому $M=(0;3)$.

Пусть $B=(-b;0)$, $C=(c;0)$, где $b>0$ и $c>0$. Уравнение окружности с диаметром $BC$ имеет вид $x^2+y^2+(b-c)x-bc=0$.

Рассмотрим треугольники $AKP$ и $ACB$. Угол $KAP$ равен углу $CAB$, поскольку лучи $AK$ и $AB$, а также $AP$ и $AC$ совпадают.$$\angle KAP = \angle CAB$$

Углы $AKP$ и $ACB$ равны как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу $KB$.$$\angle AKP = \angle ACB$$

Обозначим центры окружностей через $O_1$ и $O_2$. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов:$$O_1O_2=22+99=121$$

Радиусы, проведённые в точки касания с одной и той же общей касательной, перпендикулярны этой касательной. Поэтому прямая $AB$, соединяющая точки касания первой окружности с двумя общими касательными, перпендикулярна каждой из них…

Обозначим радиус описанной окружности через $R$. В треугольнике $AOB$ имеем $OA = OB = R$, поэтому его основания углы равны. Проекция отрезка $AB$ на прямую $AO$ равна $AB\cos\angle BAO$. Из равнобедренного треугольника $AOB$ следует…$$AB = 2R\cos\angle BAO$$

Аналогично для треугольника $AOC$: $AC = 2R\cos\angle CAO$. Следовательно, $\cos\angle CAO = \dfrac{AC}{AB}\cos\angle BAO = 2\cos\angle BAO$.$$\cos\angle CAO = 2\cos\angle BAO$$

Обозначим $AB= c$, $BC= a$, а половину угла $ABC$ — через $\alpha$. Выберем систему координат так, чтобы биссектриса $BE$ была осью абсцисс, а точка $B$ имела координаты $(0,0)$. Тогда можно записать:$$A=(c\cos\alpha,c\sin\alpha),\quad C=(a\cos\alpha,-a\sin\alpha)$$

Так как $AD$ — медиана, точка $D$ является серединой отрезка $BC$. Поэтому:$$D=\left(\frac{a\cos\alpha}{2},-\frac{a\sin\alpha}{2}\right)$$

Пусть $O$ — точка пересечения перпендикулярных отрезков $AD$ и $BE$. Выберем координаты: $O=(0,0)$, $AD$ — ось абсцисс, $BE$ — ось ординат. Обозначим $AO=20x$, где $x>0$.$$A=(20x,0),\quad D=(20x+20,0)$$

Так как $D$ — середина $BC$, из координат точки $B=(0,20y)$ получаем $C=(40x+40,-20y)$.

По теореме об угле, образованном двумя пересекающимися хордами, угол $AKB$ равен половине суммы дуг $AB$ и $CD$. Поэтому сумма соответствующих центральных углов равна $120^\circ$.

Обозначим через $2u$ центральный угол, соответствующий хорде $AB$. Тогда для хорды $CD$ соответствующий центральный угол равен $120^\circ-2u$, а его половина равна $60^\circ-u$.

Расположим точки на координатной плоскости: $A=(0;0)$, $M=(18;0)$, $N=(22;0)$. Центр окружности, проходящей через $M$ и $N$, лежит на серединном перпендикуляре к $MN$, поэтому имеет координаты $O=(20;k)$.$$R^2=OM^2=20^2-18^2+k^2=400+k^2$$

Так как $\cos \angle BAC=\dfrac{\sqrt{11}}{6}$, то $\sin \angle BAC=\dfrac{5}{6}$. Уравнение прямой $AB$ можно задать направляющим вектором $\left(\dfrac{\sqrt{11}}{6};\dfrac{5}{6}\right)$.

Расположим начало координат в точке $A$, а ось $Ox$ направим вдоль $AC$. Тогда $M=(12,0)$ и $N=(45,0)$. Центр окружности равноудалён от точек $M$ и $N$, поэтому имеет координаты $O=\left(\dfrac{57}{2},y\right)$.

Так как $\cos \angle BAC=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$, то $\sin \angle BAC=\dfrac14$. Уравнение прямой $AB$ можно задать направляющим вектором $\left(\dfrac{\sqrt{15}}4,\dfrac14\right)$.

Обозначим $BD = x$, $DC = y$. Поскольку $BC$ — диаметр полуокружности, угол $BMC$ прямой. Треугольник $BMC$ прямоугольный, а $MD$ — высота к гипотенузе $BC$.$$\angle BMC = 90^\circ$$

По свойству высоты, проведённой к гипотенузе прямоугольного треугольника, имеем:$$MD^2 = BD \cdot DC$$

Так как $M$ лежит на высоте $AD$, имеем $AM = AD - MD = 9 - 3 = 6$.

Прямые $AD$ и $BC$ пересекают окружность в парах точек $A,M$ и $B,C$ соответственно. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд:$$AM \cdot MD = BM \cdot MC$$

Обозначим $AB= c$, $BC=a$, а половину угла $B$ — через $\alpha$. Выберем биссектрису $BE$ за горизонтальное направление. Тогда можно записать координаты вершин:$$A=(c\cos\alpha,c\sin\alpha),\quad C=(a\cos\alpha,-a\sin\alpha)$$

Точка $D$ — середина стороны $BC$, поэтому её координаты равны:$$D=\left(\frac{a\cos\alpha}{2},-\frac{a\sin\alpha}{2}\right)$$

Обозначим $AB = c$, $AC = b$, $BC = a$. По условию $b = 1{,}5a$.

Так как из точки $A$ проведены две секущие к окружности, по теореме о степени точки получаем:$$AK \cdot AB = AP \cdot AC$$

Так как из точки $A$ проведены две секущие $A-K-B$ и $A-P-C$, по теореме о произведении отрезков секущих:$$AK \cdot AB = AP \cdot AC$$

Следовательно, $\dfrac{AK}{AB}=\dfrac{AP}{AC}$. Треугольники $AKP$ и $ABC$ подобны, поэтому отрезок $KP$ параллелен $BC$.$$\frac{KP}{BC}=\frac{AK}{AB}$$

Поскольку $M$ лежит на полуокружности с диаметром $BC$, а $D$ лежит на прямой $BC$, применяем теорему о степени точки $D$ относительно окружности:$$DB \cdot DC = DM^2$$

Подставим известное значение $DM$:$$DB \cdot DC = 18^2 = 324$$

Так как $M$ — середина стороны $AD$, то $MA=MD$. Поскольку точка $M$ равноудалена от всех вершин, имеем $MA=MB=MC=MD$. Следовательно, точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на окружности с центром $M$, а $AD$ является её диаметром.$$AD=2R$$

Угол $ACD$ опирается на диаметр $AD$, поэтому он прямой.$$\angle ACD=90^\circ$$

Обозначим через $2x$ и $2y$ центральные углы, опирающиеся на хорды $AB$ и $CD$ соответственно. По теореме об угле, образованном пересекающимися хордами, сумма дуг $AB$ и $CD$ равна $2\angle AKB=120^\circ$. Поэтому $x+y=60^\circ$.$$x+y=60^\circ$$

По формуле длины хорды выразим синусы половин соответствующих центральных углов:$$\sin x=\frac{43}{2R},\qquad \sin y=\frac{4}{2R}$$

Расположим начало координат в точке $A$, а сторону $AC$ направим вдоль положительной полуоси $Ox$. Тогда $M=(16,0)$ и $N=(39,0)$.

Общее уравнение окружности имеет вид $x^2+y^2+ux+vy+w=0$. Так как она проходит через $M$ и $N$, подстановка координат этих точек даёт $u=-55$ и $w=624$.$$x^2+y^2-55x+Dy+624=0$$