461ФИПИ B609A6№ 24Күрделі Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $AB$ и $CD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что отрезки $BP$ и $DQ$ равны.
- 1
В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $O$ является серединой диагоналей $AC$ и $BD$.
- 2
Рассмотрим центральную симметрию с центром $O$. При этой симметрии точка $B$ переходит в точку $D$, так как $O$ — середина отрезка $BD$.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
462ФИПИ BD4A4E№ 24Күрделі Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрали произвольную точку $E$. Докажите, что сумма площадей треугольников $BEC$ и $AED$ равна половине площади параллелограмма.
- 1
Обозначим через $H$ высоту параллелограмма $ABCD$, проведённую между параллельными сторонами $BC$ и $AD$. Пусть $h_1$ и $h_2$ — расстояния от точки $E$ до прямых $BC$ и $AD$ соответственно.$$h_1+h_2=H$$
- 2
Рассмотрим треугольник $BEC$. Выберем сторону $BC$ в качестве основания. Его высота равна $h_1$, поэтому его площадь равна:$$S_{BEC}=\frac12 BC\cdot h_1$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
463ФИПИ C7AA3F№ 24Күрделі Биссектрисы углов $A$ и $B$ в параллелограмме $ABCD$ пересекаются в точке $N$, лежащей на стороне $CD$. Докажите, что $N$ — середина $CD$.
- 1
Обозначим длину стороны $AB$ через $a$. Пусть $\vec e$ — единичный вектор, направленный вдоль $AB$, а $\vec u$ — единичный вектор, направленный вдоль $AD$.$$AB=a\vec e,\quad AD=b\vec u$$
- 2
Направление внутренней биссектрисы угла $A$ задаётся суммой единичных векторов вдоль его сторон, поэтому она имеет направление $\vec e+\vec u$. Направление внутренней биссектрисы угла $B$ задаётся векторами $-\vec e$ и $\vec u$, поэтому…$$AN:\ \vec e+\vec u,\qquad BN:\ -\vec e+\vec u$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
464ФИПИ D2ED10№ 24Күрделі Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что отрезки $AE$ и $CF$ равны.
- 1
Рассмотрим треугольники $AOE$ и $COF$.
- 2
Точка $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма, поэтому диагонали делятся точкой пересечения пополам: $AO = OC$.$$AO = OC$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
465ФИПИ D57685№ 24Күрделі Биссектрисы углов $C$ и $D$ четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$, лежащей на стороне $AB$. Докажите, что точка $P$ равноудалена от прямых $BC$, $CD$ и $AD$.
- 1
Точка $P$ лежит на биссектрисе угла $C$, сторонами которого являются прямые $BC$ и $CD$. По свойству биссектрисы расстояния от точки $P$ до этих прямых равны.$$\rho(P,BC)=\rho(P,CD)$$
- 2
Точка $P$ также лежит на биссектрисе угла $D$, сторонами которого являются прямые $CD$ и $AD$. Поэтому расстояния от точки $P$ до этих прямых равны.$$\rho(P,CD)=\rho(P,AD)$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
466ФИПИ DAEC5D№ 24Күрделі В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагонали пересекаются в точке $O$. Докажите, что площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны.
- 1
Рассмотрим треугольники $AOD$ и $COB$. Углы $AOD$ и $COB$ вертикальные, поэтому они равны. Кроме того, углы $ADO$ и $CBO$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$.$$\angle AOD=\angle COB,\quad \angle ADO=\angle CBO$$
- 2
Следовательно, треугольники $AOD$ и $COB$ подобны по двум углам. Соответствующие стороны пропорциональны.$$\frac{AO}{CO}=\frac{DO}{BO}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
467ФИПИ E3F9F8№ 24Күрделі Биссектрисы углов $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $M$, лежащей на стороне $AD$. Докажите, что $M$ — середина $AD$.
- 1
Так как $BM$ — биссектриса угла $ABC$, то $\angle ABM=\angle MBC$. Поскольку $AD\parallel BC$, а точки $A$, $M$, $D$ лежат на одной прямой, получаем $\angle MBC=\angle AMB$.$$\angle ABM=\angle AMB$$
- 2
В треугольнике $ABM$ равны углы при вершинах $B$ и $M$, поэтому он равнобедренный.$$AM=AB$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
468ФИПИ E90E86№ 24Күрделі Сторона $CD$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $AD$. Точка $N$ — середина стороны $CD$. Докажите, что $AN$ — биссектриса угла $BAD$.
- 1
Так как $N$ — середина стороны $CD$, то $CN = ND = \dfrac{CD}{2}$.
- 2
По условию $CD = 2AD$, поэтому $ND = \dfrac{CD}{2} = AD$.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Сторона $AD$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $CD$. Точка $M$ — середина стороны $AD$. Докажите, что $CM$ — биссектриса угла $BCD$.
- 1
Обозначим длину стороны $CD$ через $a$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, противоположные стороны равны: $|AD|=|BC|$. По условию $|AD|=2|CD|$, поэтому $|BC|=2a$, а $|CD|=a$.$$|BC|=|AD|=2a,\quad |CD|=a$$
- 2
Поскольку $M$ — середина стороны $AD$, имеем $\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AD}$. В параллелограмме $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, поэтому $\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{BC}$.$$\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AD}=\frac12\overrightarrow{BC}$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $10$ и $26$, а основание $BC$ равно $1$. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Расположим основание $BC$ горизонтально: пусть $B=(1,0)$, $C=(0,0)$, а $A=(a,h)$ и $D=(d,h)$. Тогда $AD\parallel BC$, а $h$ — высота трапеции.$$AB^2=(a-1)^2+h^2=100,\quad CD^2=d^2+h^2=676$$
- 2
Направление луча $DA$ задаётся единичным вектором $(1,0)$, а направление луча $DC$ — вектором $\left(-\dfrac{d}{26},-\dfrac{h}{26}\right)$. Поэтому направление биссектрисы угла $ADC$ пропорционально сумме этих векторов.$$\left(1-\dfrac{d}{26},-\dfrac{h}{26}\right)$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $40$ и $41$, а основание $BC$ равно $16$. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Пусть $M$ — середина стороны $AB$, а $h$ — высота трапеции. Обозначим горизонтальную проекцию стороны $AB$ через $x$, а большее основание $AD$ через $a$.$$AB^2=x^2+h^2=40^2$$
- 2
Точка $M$ лежит на биссектрисе угла $ADC$, поэтому её расстояния до прямых $AD$ и $DC$ равны. Расстояние от $M$ до $AD$ равно $\dfrac h2$. После вычисления расстояния от $M$ до $DC$ получаем:$$\frac{h(a+16)}{2\cdot 41}=\frac h2$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC$. Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E$. Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $CD$…
- 1
Введём координаты точек: $B=(0,0)$, $C=(4,0)$, $A=(0,h)$, $D=(8,h)$, $E=(0,e)$. Пусть центр окружности имеет координаты $(r,e)$. Так как окружность касается прямой $AB$ в точке $E$, её радиус равен $r$.
- 2
Точка $C$ принадлежит окружности, поэтому$$(4-r)^2+e^2=r^2$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $16$ и $34$, а основание $BC$ равно $2$. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Расположим трапецию в системе координат так, чтобы $D=(0,0)$, основание $AD$ лежало на оси абсцисс, а $C=(x,h)$. Тогда $CD=34$, поэтому$$x^2+h^2=34^2$$
- 2
Так как $BC=2$, точку $B$ можно записать как $B=(x-2,h)$, а $A=(a,0)$, где $a=AD$.
Ещё 8 қадам — толық шешімде
Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Найдите площадь параллелограмма, если $BC = 2$, а расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно 8.
- 1
Обозначим через $\alpha$ половину угла $A$ параллелограмма. Тогда угол $A$ равен $2\alpha$, а высота параллелограмма, опущенная на сторону $AB$, равна$$h = AD\sin 2\alpha = 2\sin 2\alpha$$
- 2
Пусть $H$ — основание перпендикуляра из точки $K$ на сторону $AB$. По условию $KH=8$. Обозначим $AB=b$. Так как $K$ лежит на биссектрисе угла $A$, горизонтальная координата точки $K$ относительно вершины $A$ равна $8\cot\alpha$.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $20$ и $29$, а основание $BC$ равно $4$. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Пусть $AD$ и $BC$ — основания трапеции, $BC=4$, $AB=20$, $CD=29$, а $h$ — её высота. Опустим из $C$ перпендикуляр на прямую $AD$. Обозначим горизонтальную проекцию стороны $CD$ через $x$.$$x^2+h^2=29^2$$
- 2
Разместим трапецию в координатах так, чтобы основание $AD$ лежало на горизонтальной оси. Тогда горизонтальная проекция стороны $AB$ равна $x-AD+BC=x+4-AD$.
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Найдите площадь параллелограмма, если $BC=12$, а расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно $9$.
- 1
Обозначим высоту параллелограмма, опущенную на сторону $AB$, через $h$, а угол между сторонами $AB$ и $AD$ — через $\alpha$. Тогда $h=BC\sin\alpha$.
- 2
Биссектриса угла $A$ образует с прямой $AB$ угол $\dfrac{\alpha}{2}$. Биссектриса угла $B$ образует с прямой $AB$ угол $90^\circ-\dfrac{\alpha}{2}$, так как соседние углы параллелограмма в сумме дают $180^\circ$.
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 6 и 10, а основание $BC$ равно 1. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Обозначим длину основания $AD$ через $x$, а высоту трапеции через $h$. Пусть $M$ — середина стороны $AB$. Так как $M$ лежит на биссектрисе угла $ADC$, расстояния от точки $M$ до прямых $AD$ и $DC$ равны.
- 2
Поскольку $BC=1$, а $CD=10$, из условия равенства расстояний до сторон угла при использовании средней точки стороны $AB$ получаем соотношение $\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{10}$.
Ещё 5 қадам — толық шешімде
478ФИПИ 80A169№ 25Күрделі Биссектрисы углов $A$ и $B$ в параллелограмме $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Найдите площадь параллелограмма, если $BC = 7$, а расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно $4$.
- 1
Так как точка $K$ лежит на биссектрисе угла $A$, она равноудалена от прямых $AB$ и $AD$. Поэтому расстояние от $K$ до прямой $AD$ также равно $4$.$$d(K,AB)=d(K,AD)=4$$
- 2
Точка $K$ лежит и на биссектрисе угла $B$, поэтому она равноудалена от прямых $BA$ и $BC$. Следовательно, расстояние от $K$ до прямой $BC$ равно $4$.$$d(K,AB)=d(K,BC)=4$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $8$ и $10$, а основание $BC$ равно $2$. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Обозначим середину стороны $AB$ через $M$, а высоту трапеции через $h$. Так как $M$ лежит на биссектрисе угла $ADC$, расстояния от точки $M$ до прямых $AD$ и $DC$ равны.
- 2
Поскольку $M$ — середина боковой стороны $AB$, её расстояние до основания $AD$ равно $\dfrac{h}{2}$. Проведём через $M$ прямую, параллельную основаниям. С учётом равенства расстояний до сторон угла и условия $BC=2$ получаем $AD=8$.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $24$ и $25$, а основание $BC$ равно $9$. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Обозначим через $M$ середину стороны $AB$. Пусть единичные векторы направлений $DA$ и $DC$ равны $\vec e$ и $\vec u$ соответственно. Так как $DC=25$, а $BC=9$ и $BC\parallel AD$, имеем $\overrightarrow{DB}=25\vec u+9\vec e$.$$\overrightarrow{DM}=\frac{\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}}{2}=\frac{(AD+9)\vec e+25\vec u}{2}$$
- 2
Поскольку $DM$ является биссектрисой угла между направлениями $\vec e$ и $\vec u$, коэффициенты при этих единичных векторах в разложении вектора $\overrightarrow{DM}$ равны.$$AD+9=25$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде