Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Найдите площадь параллелограмма, если $BC = 19$, а расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно 7.
- 1
Так как точка $K$ лежит на биссектрисе угла $A$, она равноудалена от прямых $AB$ и $AD$. Следовательно, расстояние от $K$ до стороны $AD$ равно 7.$$d(K,AB)=d(K,AD)=7$$
- 2
Так как точка $K$ лежит на биссектрисе угла $B$, она равноудалена от прямых $BA$ и $BC$. Следовательно, расстояние от $K$ до стороны $BC$ также равно 7.$$d(K,AB)=d(K,BC)=7$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 28 и 35, а основание $BC$ равно 7. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Пусть $M$ — середина стороны $AB$, а $h$ — высота трапеции. Так как $DM$ является биссектрисой угла $ADC$, точка $M$ равноудалена от прямых $AD$ и $CD$.$$d(M,AD)=d(M,CD)$$
- 2
Расстояние от середины боковой стороны $AB$ до основания $AD$ равно $\dfrac{h}{2}$. Сопоставление расстояний до прямых $AD$ и $CD$ даёт соотношение между основаниями и боковой стороной $CD$:$$AD+BC=CD$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC$. Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E$. Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $CD$…
- 1
В трапеции основания параллельны, поэтому $AB \parallel CD$.
- 2
Так как $AB \perp BC$, а $AB \parallel CD$, то $CD \perp BC$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Найдите площадь параллелограмма, если $BC = 2$, а расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно $1$.
- 1
Обозначим $AB = a$, а угол $DAB$ через $\alpha$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, $AD = BC = 2$.
- 2
Пусть $u = \dfrac{\alpha}{2}$. Биссектриса угла $A$ образует с основанием $AB$ угол $u$. Биссектриса угла $B$ образует с направлением, параллельным $AB$, угол $u$ с другой стороны.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Биссектрисы углов $A$ и $B$ в параллелограмме $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Найдите площадь параллелограмма, если $BC = 17$, а расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно $10$.
- 1
Обозначим величину угла $DAB$ через $\alpha$, а длину стороны $AB$ через $x$. Так как $BC = AD = 17$, высота параллелограмма, проведённая к стороне $AB$, равна $17\sin\alpha$.
- 2
Направление биссектрисы угла $A$ задаётся суммой единичных направляющих векторов сторон $AB$ и $AD$, а направление биссектрисы угла $B$ — суммой единичных направляющих векторов сторон $BA$ и $BC$. При пересечении этих биссектрис…
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC$. Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E$. Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $CD$…
- 1
Введём координаты: $B(0,0)$, $C(5,0)$, $A(0,h)$, $D(6,h)$, где $h>0$. Пусть $E(0,e)$.
- 2
Окружность касается прямой $AB$, то есть оси $y$, в точке $E$. Поэтому её центр имеет координаты $(r,e)$, а уравнение окружности имеет вид $(x-r)^2+(y-e)^2=r^2$.
Ещё 8 қадам — толық шешімде
Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Найдите площадь параллелограмма, если $BC = 19$, а расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно 10.
- 1
Обозначим $AB=b$, а угол между сторонами $AB$ и $AD$ — через $\alpha$. Тогда высота параллелограмма, проведённая к стороне $AB$, равна $b\sin\alpha$.
- 2
Рассмотрим пересечение биссектрис углов $A$ и $B$. Направление биссектрисы угла $A$ задаётся суммой единичных направляющих векторов вдоль $AB$ и $AD$, а направление биссектрисы угла $B$ — суммой единичных направляющих векторов вдоль $BA$…
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $12$ и $13$, а основание $BC$ равно $4$. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Введём координаты: $D=(0,0)$, $A=(a,0)$, $B=(b,h)$, $C=(b+4,h)$. Тогда $AD\parallel BC$, причём $BC=4$.
- 2
Так как $CD=13$, имеем:$$(b+4)^2+h^2=13^2=169$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Найдите площадь параллелограмма, если $BC = 18$, а расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно $1$.
- 1
Обозначим через $h$ высоту параллелограмма, проведённую к стороне $AB$. Рассмотрим углы при вершинах $A$ и $B$. Так как $AK$ и $BK$ — биссектрисы этих углов, точка $K$ равноудалена от сторон каждого из углов.$$d(K,AB)=d(K,AD)=d(K,BC)$$
- 2
Расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно $1$. Следовательно, расстояние от точки $K$ до параллельной ей стороны $CD$ также равно $1$. Поэтому точка $K$ находится посередине между сторонами $AB$ и $CD$, а высота параллелограмма вдвое…$$h=2\cdot d(K,AB)=2$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Найдите площадь параллелограмма, если $BC = 11$, а расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно $3$.
- 1
Обозначим через $\alpha$ угол $DAB$, а через $h$ — высоту параллелограмма, проведённую к стороне $AB$. Тогда $h = BC \sin \alpha$.
- 2
Биссектриса угла $A$ образует с прямой $AB$ угол $\dfrac{\alpha}{2}$. Биссектриса угла $B$ образует с прямой $AB$ угол $90^\circ - \dfrac{\alpha}{2}$. Из условия пересечения этих биссектрис следует, что точка $K$ находится на половине…
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $4$ и $5$, а основание $BC$ равно $1$. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Расположим трапецию в координатной плоскости: $D=(0,0)$, $A=(a,0)$, $C=(x,h)$, $B=(x+1,h)$. Тогда $AD=a$, $BC=1$, а $h$ — высота трапеции.$$CD^2=x^2+h^2=25$$
- 2
Так как $AB=4$, получаем второе равенство для боковых сторон:$$(x+1-a)^2+h^2=16$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Биссектрисы углов $A$ и $B$ в параллелограмме $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Найдите площадь параллелограмма, если $BC = 6$, а расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно $6$.
- 1
Обозначим $AB=b$, а угол $DAB$ — через $\alpha$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $BC=AD=6$.
- 2
Рассмотрим биссектрису угла $A$. В треугольнике, образованном этой биссектрисой и сторонами параллелограмма, расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ выражается формулой$$h_K=\frac{AB\cdot\sin\alpha}{2}=\frac{b\sin\alpha}{2}$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
493ФИПИ 07F31CКүрделі
Диагональ ромба равна 20, а другая диагональ равна 2. Найдите площадь ромба.
- 1
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.$$S = \dfrac{d_1 d_2}{2}$$
- 2
Подставим длины диагоналей.$$S = \dfrac{20 \cdot 2}{2} = 20$$
494ФИПИ A002C2Күрделі
В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 5, а один из углов между боковой стороной и основанием равен $45^\circ$. Найдите площадь этой трапеции.
- 1
Разность оснований трапеции равна $5-3=2$. В равнобедренной трапеции она делится поровну между двумя боковыми прямоугольными треугольниками, поэтому горизонтальный катет каждого из них равен $1$.$$x=\frac{5-3}{2}=1$$
- 2
Угол в получившемся прямоугольном треугольнике равен $45^\circ$, поэтому его катеты равны. Следовательно, высота трапеции равна $1$.$$h=x=1$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
495ФИПИ A11227Күрделі
Основания трапеции равны 16 и 17. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
- 1
Диагональ трапеции делит её среднюю линию на два отрезка, равные половинам оснований трапеции.$$l_1=\dfrac{16}{2}=8,\quad l_2=\dfrac{17}{2}=8{,}5$$
- 2
Большим является отрезок, соответствующий большему основанию.$$l_{\max}=8{,}5$$
496ФИПИ A52E8AКүрделі
В равнобедренной трапеции $ABCD$ угол $D$ равен $58°$. Найдите градусную меру угла $ACD$, если луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$.
- 1
В равнобедренной трапеции углы при основании $AD$ равны.$$\angle BAD = \angle D = 58°$$
- 2
Так как луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$, то$$\angle CAD = \frac{58°}{2} = 29°$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
497ФИПИ A6EA51Күрделі
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины $C$, делит основание $AD$ на отрезки длиной 8 и 18. Найдите длину основания $BC$.
- 1
В равнобедренной трапеции проекции боковых сторон на большее основание равны. Поэтому отрезки, на которые высота из вершины $C$ делит основание $AD$, отличаются на длину меньшего основания $BC$.$$BC = 18 - 8$$
- 2
Вычислим разность длин отрезков.$$BC = 10$$
498ФИПИ AA4DCCКүрделі
Периметр ромба равен 72, а один из углов равен $30^\circ$. Найдите площадь этого ромба.
- 1
У ромба все стороны равны, поэтому длина его стороны равна:$$a = \frac{72}{4} = 18$$
- 2
Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами:$$S = a^2\sin\alpha$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
499ФИПИ AB5A83Күрделі
Диагональ $AC$ параллелограмма $ABCD$ образует с его сторонами углы, равные $45^\circ$ и $25^\circ$. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Диагональ $AC$ делит угол $A$ параллелограмма на два угла: $25^\circ$ и $45^\circ$.$$\angle A = 25^\circ + 45^\circ = 70^\circ$$
- 2
Соседние углы параллелограмма supplementary, поэтому больший угол равен:$$180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$$
500ФИПИ AE58DEКүрделі
Диагональ $AC$ ромба $ABCD$ равна $8$, а $\tg \angle BCA = 0{,}5$. Найдите площадь ромба.
- 1
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому $CO = \dfrac{AC}{2} = 4$.
- 2
В прямоугольном треугольнике $BCO$ найдём половину диагонали $BD$ по тангенсу угла $BCA$: $\tg \angle BCA = \dfrac{BO}{CO}$.$$\frac{BO}{4}=0{,}5$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде