Решение: Середина стороны параллелограмма
Биссектрисы углов $A$ и $B$ в параллелограмме $ABCD$ пересекаются в точке $N$, лежащей на стороне $CD$. Докажите, что $N$ — середина $CD$.
Решение по шагам
7 шаговОбозначим длину стороны $AB$ через $a$. Пусть $\vec e$ — единичный вектор, направленный вдоль $AB$, а $\vec u$ — единичный вектор, направленный вдоль $AD$.
$$AB=a\vec e,\quad AD=b\vec u$$Направление внутренней биссектрисы угла $A$ задаётся суммой единичных векторов вдоль его сторон, поэтому она имеет направление $\vec e+\vec u$. Направление внутренней биссектрисы угла $B$ задаётся векторами $-\vec e$ и $\vec u$, поэтому равно $-\vec e+\vec u$.
$$AN:\ \vec e+\vec u,\qquad BN:\ -\vec e+\vec u$$Так как точка $N$ лежит на обеих биссектрисах, существуют числа $\lambda$ и $\mu$, для которых её положение можно записать двумя способами.
$$\overrightarrow{AN}=\lambda(\vec e+\vec u),\qquad \overrightarrow{AN}=a\vec e+\mu(-\vec e+\vec u)$$Векторы $\vec e$ и $\vec u$ неколлинеарны. Поэтому приравниваем коэффициенты при них: $\lambda=\mu$ и $\lambda=a-\mu$. Отсюда $2\lambda=a$, то есть $\lambda=\dfrac a2$.
$$\overrightarrow{AN}=\frac a2(\vec e+\vec u)$$Поскольку $N$ лежит на стороне $CD$, а $CD\parallel AB$, существует число $t$ такое, что $N$ получается из точки $D$ переносом на долю $t$ вектора $\overrightarrow{DC}$.
$$\overrightarrow{AN}=b\vec u+ta\vec e$$Сравнивая это равенство с найденным выражением $\overrightarrow{AN}=\dfrac a2\vec e+\dfrac a2\vec u$, получаем $ta=\dfrac a2$, поэтому $t=\dfrac12$.
$$ta=\frac a2\quad\Rightarrow\quad t=\frac12$$Следовательно, $DN=t\cdot DC=\dfrac12DC$, а значит, $NC=\dfrac12DC$. Поэтому $DN=NC$, и точка $N$ является серединой стороны $CD$.
Так как $DN=NC$, точка $N$ — середина $CD$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что из пересечения биссектрис автоматически следует деление стороны пополам, не обосновав это.
Неверно задавать направление биссектрисы угла $B$: оно должно быть пропорционально $-\vec e+\vec u$.
Не использовать условие $N\in CD$ при доказательстве.