Решение: Равенство углов в четырёхугольнике
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $ABD$ и $ACD$ равны. Докажите, что углы $DAC$ и $DBC$ также равны.
Решение по шагам
5 шаговРассмотрим окружность, проходящую через точки $A$, $B$ и $D$. Угол $ABD$ является вписанным углом этой окружности и опирается на хорду $AD$.
По условию $\angle ABD = \angle ACD$. Следовательно, угол $ACD$ также опирается на тот же отрезок $AD$ и равен вписанному углу $ABD$.
По обратной теореме о вписанных углах точки $A$, $B$, $C$ и $D$ лежат на одной окружности. Выпуклость четырёхугольника обеспечивает соответствующее расположение точек.
В получившемся вписанном четырёхугольнике углы $DAC$ и $DBC$ являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же хорду $DC$.
Вписанные углы, опирающиеся на одну хорду, равны. Поэтому $\angle DAC = \angle DBC$.
Так как $\angle ABD = \angle ACD$, точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на одной окружности. Углы $DAC$ и $DBC$ опираются на одну хорду $DC$, следовательно, $\angle DAC = \angle DBC$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Ссылаться только на равенство углов без указания признака цикличности четырёхугольника.
Неверно выбирать хорду: углы $DAC$ и $DBC$ опираются на хорду $DC$.
Путать углы $ABD$ и $ACD$ с углами, опирающимися на разные хорды.