Решение: Биссектриса угла параллелограмма
Сторона $AD$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $AB$. Точка $M$ — середина стороны $AD$. Докажите, что $BM$ — биссектриса угла $ABC$.
Решение по шагам
4 шагаПоскольку $M$ — середина стороны $AD$, имеем $AM = \dfrac{AD}{2}$. По условию $AD = 2AB$, поэтому $AM = AB$.
$$AM = \dfrac{AD}{2} = \dfrac{2AB}{2} = AB$$Треугольник $ABM$ равнобедренный, так как в нём равны стороны $AB$ и $AM$. Поэтому углы при основании равны.
$$\angle ABM = \angle BMA$$В параллелограмме противоположные стороны параллельны, поэтому $AD \parallel BC$. При секущей $BM$ соответствующие углы равны.
$$\angle BMA = \angle MBC$$Из равенства углов следует, что луч $BM$ делит угол $ABC$ на два равных угла. Следовательно, $BM$ — биссектриса угла $ABC$.
Так как $AM=AB$, треугольник $ABM$ равнобедренный и $\angle ABM=\angle BMA$. Поскольку $AD\parallel BC$, $\angle BMA=\angle MBC$. Значит, $\angle ABM=\angle MBC$, поэтому $BM$ — биссектриса угла $ABC$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не используют условие, что $M$ — середина стороны $AD$.
Неверно определяют углы, равные при параллельных прямых $AD$ и $BC$.
Делают вывод о биссектрисе без доказательства равенства углов.