Решение: Биссектрисы параллелограмма
Биссектрисы углов $A$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $K$, лежащей на стороне $BC$. Докажите, что $K$ — середина $BC$.
Решение по шагам
8 шаговТак как $AK$ — биссектриса угла $DAB$, то $\angle BAK=\angle KAD$.
В параллелограмме $AD\parallel BC$, а точки $B$, $K$, $C$ лежат на одной прямой. Поэтому $\angle KAD=\angle AKB$ как накрест лежащие углы.
Следовательно, $\angle BAK=\angle AKB$. В треугольнике $ABK$ равны углы при вершинах $A$ и $K$, значит, равны противолежащие стороны: $AB=BK$.
Так как $DK$ — биссектриса угла $ADC$, то $\angle ADK=\angle KDC$.
Поскольку $AD\parallel BC$, имеем $\angle ADK=\angle DKC$. Следовательно, $\angle KDC=\angle DKC$.
В треугольнике $DCK$ равны углы при вершинах $D$ и $K$, поэтому равны противолежащие стороны: $DC=CK$.
Противоположные стороны параллелограмма равны: $AB=DC$. Поэтому $BK=AB=DC=CK$.
Точка $K$ лежит на отрезке $BC$ и делит его на два равных отрезка, значит, $K$ — середина $BC$.
$BK=CK$, следовательно, точка $K$ является серединой отрезка $BC$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно указать соответствующие углы при использовании параллельности $AD\parallel BC$.
Сделать вывод о равенстве сторон треугольника без предварительного доказательства равенства углов.
Забыть, что для доказательства того, что $K$ — середина $BC$, нужно установить не только принадлежность точки отрезку $BC$, но и равенство $BK=CK$.