Решение: Диаметры окружностей и общая касательная
Окружности с центрами в точках $P$ и $Q$ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении $a:b$. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как $a:b$.
Решение по шагам
5 шаговПусть внутренняя общая касательная касается первой окружности в точке $A$, второй — в точке $B$, а отрезок $PQ$ пересекает касательную в точке $X$. Для внутренней общей касательной точка $X$ лежит между $P$ и $Q$.
Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной: $PA \perp AB$ и $QB \perp AB$. Поэтому треугольники $PAX$ и $QBX$ прямоугольные.
Угол $PXA$ равен углу $QXB$, поскольку они образованы двумя пересекающимися прямыми. Следовательно, треугольники $PAX$ и $QBX$ подобны по двум углам.
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $\dfrac{PA}{QB}=\dfrac{PX}{XQ}$. По условию $\dfrac{PX}{XQ}=\dfrac{a}{b}$, значит $\dfrac{PA}{QB}=\dfrac{a}{b}$.
Стороны $PA$ и $QB$ являются радиусами данных окружностей. Диаметр каждой окружности в два раза больше её радиуса, поэтому отношение диаметров равно отношению радиусов.
Если диаметры окружностей равны $d_1$ и $d_2$, то $\dfrac{d_1}{d_2}=\dfrac{a}{b}$, то есть диаметры относятся как $a:b$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не обосновывают перпендикулярность радиуса касательной.
Неверно выбирают соответствующие стороны подобных треугольников.
Забывают, что отношение диаметров совпадает с отношением радиусов, поскольку оба диаметра в два раза больше соответствующих радиусов.