Решение: Площадь треугольника в трапеции
Точка $K$ — середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD$. Докажите, что площадь треугольника $KAB$ равна половине площади трапеции.
Решение по шагам
5 шаговПусть $AD=a$, $BC=b$, а высота трапеции равна $h$. Введём координаты: $A=(0,0)$, $D=(a,0)$, $B=(x,h)$, $C=(x+b,h)$.
Так как $K$ — середина отрезка $CD$, его координаты равны средним арифметическим координат соответствующих концов отрезка:
$$K\left(\frac{a+x+b}{2},\frac{h}{2}\right)$$Площадь треугольника $KAB$ найдём по определителю. Для векторов $\overrightarrow{AB}=(x,h)$ и $\overrightarrow{AK}=\left(\frac{a+x+b}{2},\frac{h}{2}\right)$ имеем:
$$S_{KAB}=\frac12\left|x\cdot\frac h2-h\cdot\frac{a+x+b}{2}\right|=\frac{(a+b)h}{4}$$Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту:
$$S_{ABCD}=\frac{(a+b)h}{2}$$Следовательно, площадь треугольника $KAB$ в два раза меньше площади трапеции:
$$S_{KAB}=\frac{(a+b)h}{4}=\frac12\cdot\frac{(a+b)h}{2}=\frac12S_{ABCD}$$Таким образом, $S_{KAB}=\dfrac12S_{ABCD}$, что и требовалось доказать.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно считать $CD$ основанием трапеции: по условию $CD$ — боковая сторона, поэтому основаниями являются $AD$ и $BC$.
Забывать множитель $\dfrac12$ в формуле площади треугольника.
Считать высотой треугольника $KAB$ высоту всей трапеции, хотя расстояние от $K$ до основания $AB$ в координатном доказательстве учитывается через координаты точки $K$.