Решение: Подобие треугольников по окружности
Известно, что около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность и что продолжения сторон $AD$ и $BC$ четырёхугольника пересекаются в точке $K$. Докажите, что треугольники $KAB$ и $KCD$ подобны.
Решение по шагам
5 шаговТочки $K$, $A$, $D$ лежат на одной прямой, а точки $K$, $B$, $C$ — на другой. Поэтому угол $KAB$ является смежным с углом $DAB$, а угол $KCD$ — смежным с углом $BCD$.
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, поэтому его противоположные углы supplementary:
$$\angle DAB+\angle BCD=180^\circ$$Так как каждый из углов $KAB$ и $KCD$ является смежным с одним из этих противоположных углов, их суммы с соответствующими углами также равны $180^\circ$. Следовательно, эти углы равны:
$$\angle KAB=\angle KCD$$Аналогично, углы $KBA$ и $KDC$ являются внешними углами при вершинах $B$ и $D$. Углы $ABC$ и $CDA$ — противоположные углы вписанного четырёхугольника, поэтому:
$$\angle KBA=\angle KDC$$В треугольниках $KAB$ и $KCD$ равны две пары соответствующих углов. Значит, треугольники подобны по двум углам.
Так как $ABCD$ — вписанный четырёхугольник, его противоположные углы supplementary. С учётом коллинеарности точек $K,A,D$ и $K,B,C$ получаем $\angle KAB=\angle KCD$ и $\angle KBA=\angle KDC$. Следовательно, $\triangle KAB\sim\triangle KCD$ по двум углам.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно указать соответствие вершин треугольников.
Забыть обосновать, почему углы при продолжении сторон являются смежными.
Сослаться только на вписанность четырёхугольника без получения равенства углов треугольников.