Решение: Равенство площадей треугольников
В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагонали пересекаются в точке $O$. Докажите, что площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны.
Решение по шагам
4 шагаРассмотрим треугольники $AOD$ и $COB$. Углы $AOD$ и $COB$ вертикальные, поэтому они равны. Кроме того, углы $ADO$ и $CBO$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$.
$$\angle AOD=\angle COB,\quad \angle ADO=\angle CBO$$Следовательно, треугольники $AOD$ и $COB$ подобны по двум углам. Соответствующие стороны пропорциональны.
$$\frac{AO}{CO}=\frac{DO}{BO}$$Площади треугольников $AOB$ и $COD$ вычислим через две стороны и угол между ними. Углы $AOB$ и $COD$ вертикальные, поэтому равны.
$$\frac{S_{AOB}}{S_{COD}}=\frac{AO\cdot BO\cdot\sin\angle AOB}{CO\cdot DO\cdot\sin\angle COD}=\frac{AO\cdot BO}{CO\cdot DO}$$Из соотношения подобия следует $AO\cdot BO=CO\cdot DO$. Поэтому отношение площадей равно единице.
$$\frac{S_{AOB}}{S_{COD}}=1$$Следовательно, $S_{AOB}=S_{COD}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно указывают соответствующие стороны в подобных треугольниках.
Забывают обосновать равенство углов при параллельных основаниях.
Сравнивают площади только по одной паре сторон, не учитывая общий или равный угол.