Решение: Признак вписанного четырёхугольника
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $\angle DAC$ и $\angle DBC$ равны. Докажите, что углы $\angle CDB$ и $\angle CAB$ также равны.
Решение по шагам
4 шагаРассмотрим окружность, проходящую через точки $A$, $C$ и $D$. Угол $\angle DAC$ является вписанным и опирается на хорду $DC$.
По условию $\angle DBC = \angle DAC$. Следовательно, угол $\angle DBC$ равен вписанному углу, опирающемуся на хорду $DC$.
В выпуклом четырёхугольнике точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от прямой $DC$. Поэтому из обратной теоремы о вписанных углах следует, что точка $B$ лежит на окружности, проходящей через $A$, $C$ и $D$. Значит, четырёхугольник $ABCD$ является вписанным.
Вписанные углы $\angle CDB$ и $\angle CAB$ опираются на одну и ту же хорду $CB$. Следовательно, они равны.
$\angle CDB = \angle CAB$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают, что из выпуклости четырёхугольника точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от прямой $DC$.
Ссылаются на равенство углов, но не объясняют, почему точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на одной окружности.
Путают хорды, на которые опираются углы $\angle CDB$ и $\angle CAB$.