Решение: Подобие треугольников у окружности
Известно, что около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность и что продолжения сторон $AB$ и $CD$ четырёхугольника пересекаются в точке $M$. Докажите, что треугольники $MBC$ и $MDA$ подобны.
Решение по шагам
4 шагаТак как точки $A$, $B$, $M$ лежат на одной прямой, а точки $C$, $D$, $M$ — на другой, углы $\angle BMC$ и $\angle DMA$ являются вертикальными.
$$\angle BMC = \angle DMA$$Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, поэтому сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.
$$\angle ABC + \angle CDA = 180^\circ$$Угол $\angle MBC$ является внешним углом при вершине $B$, а угол $\angle MDA$ — внешним углом при вершине $D$. С учётом коллинеарности точек $A$, $B$, $M$ и $C$, $D$, $M$ получаем, что эти углы равны как дополнительные к противоположным углам вписанного четырёхугольника.
$$\angle MBC = \angle MDA$$В треугольниках $MBC$ и $MDA$ равны две пары углов. Следовательно, треугольники подобны по двум углам.
$$\triangle MBC \sim \triangle MDA$$Так как $\angle BMC = \angle DMA$ как вертикальные углы и $\angle MBC = \angle MDA$ как внешние углы при противоположных вершинах вписанного четырёхугольника, то $\triangle MBC \sim \triangle MDA$ по двум углам.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не указать, что углы при вершине $M$ являются вертикальными.
Неверно применить свойство вписанного четырёхугольника: сумма противоположных углов равна $180^\circ$.
Сделать вывод о подобии только по одной паре равных углов.