Решение: Биссектриса параллелограмма
Сторона $AB$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $BC$. Точка $L$ — середина стороны $AB$. Докажите, что $CL$ — биссектриса угла $BCD$.
Решение по шагам
5 шаговТак как $L$ — середина стороны $AB$, имеем $BL=\dfrac{AB}{2}$. По условию $AB=2BC$, следовательно, $BL=BC$.
$$BL=\dfrac{AB}{2}=BC$$В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $CD=AB=2BC$. Обозначим через $\vec b$ и $\vec d$ векторы $\overrightarrow{CB}$ и $\overrightarrow{CD}$ соответственно.
Поскольку $L$ — середина $AB$, а $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}=\vec d$, получаем $\overrightarrow{BL}=\dfrac12\vec d$. Поэтому
$$\overrightarrow{CL}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BL}=\vec b+\dfrac12\vec d$$Из равенства $CD=2BC$ следует, что $\left|\dfrac12\vec d\right|=|\vec b|$. Значит, вектор $\overrightarrow{CL}$ является суммой двух равных по длине векторов, направленных вдоль лучей $CB$ и $CD$.
Сумма двух равных по длине векторов, исходящих из одной точки, направлена по биссектрисе угла между ними. Следовательно, луч $CL$ является биссектрисой угла $BCD$.
Поскольку $\overrightarrow{CL}=\overrightarrow{CB}+\dfrac12\overrightarrow{CD}$ и $\left|\overrightarrow{CB}\right|=\left|\dfrac12\overrightarrow{CD}\right|$, луч $CL$ является биссектрисой угла $BCD$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно считают, что $BL=AB$, а не $BL=\dfrac{AB}{2}$.
Забывают обосновать равенство $CD=AB$ в параллелограмме.
Утверждают, что диагональ или медиана автоматически является биссектрисой угла, без доказательства.