Решение: Подобие треугольников по высотам
В треугольнике $ABC$ с тупым углом $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. Докажите, что треугольники $A_1BC_1$ и $ABC$ подобны.
Решение по шагам
5 шаговПоскольку $AA_1$ и $CC_1$ — высоты, имеем $AA_1 \perp BC$ и $CC_1 \perp AB$. Так как угол $ABC$ тупой, точки $A_1$ и $C_1$ лежат на продолжениях сторон $BC$ и $AB$ за точку $B$.
Из свойств перпендикуляров следует, что отрезок, соединяющий основания высот, параллелен третьей стороне: $A_1C_1 \parallel AC$.
Так как $BA_1$ лежит на прямой $BC$, а $BC_1$ лежит на продолжении прямой $BA$, получаем равенство углов $\angle A_1BC_1 = \angle ABC$.
Из параллельности $A_1C_1$ и $AC$ следует равенство соответственных углов $\angle A_1C_1B = \angle ACB$.
Два угла треугольника $A_1BC_1$ соответственно равны двум углам треугольника $ABC$. Следовательно, треугольники подобны по двум углам.
Так как $\angle A_1BC_1 = \angle ABC$ и $\angle A_1C_1B = \angle ACB$, то $\triangle A_1BC_1 \sim \triangle ABC$ по двум углам.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать, что угол $ABC$ тупой, а точки $A_1$ и $C_1$ лежат на продолжениях сторон.
Неверно указывать соответствие вершин подобных треугольников.
Ссылаться на параллельность $A_1C_1$ и $AC$ без обоснования.