Решение: Биссектриса угла параллелограмма
Сторона $BC$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $AB$. Точка $K$ — середина стороны $BC$. Докажите, что $AK$ — биссектриса угла $BAD$.
Решение по шагам
6 шаговТак как $K$ — середина стороны $BC$, имеем $BK = \dfrac{BC}{2}$.
По условию $BC = 2AB$, поэтому $BK = \dfrac{2AB}{2} = AB$.
Следовательно, треугольник $ABK$ равнобедренный, так как $AB = BK$. В нём углы при основании равны: $\angle BAK = \angle AKB$.
В параллелограмме $ABCD$ стороны $BC$ и $AD$ параллельны, поэтому прямая $BK$, лежащая на $BC$, параллельна прямой $AD$.
При секущей $AK$ углы $AKB$ и $KAD$ равны как соответственные углы при параллельных прямых: $\angle AKB = \angle KAD$.
Следовательно, $\angle BAK = \angle KAD$. Значит, луч $AK$ делит угол $BAD$ пополам и является его биссектрисой.
Так как $BK=\dfrac{BC}{2}=AB$, треугольник $ABK$ равнобедренный, поэтому $\angle BAK=\angle AKB$. Поскольку $BK\parallel AD$, то $\angle AKB=\angle KAD$. Следовательно, $\angle BAK=\angle KAD$, значит, $AK$ — биссектриса угла $BAD$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно используют условие $BC=2AB$ и получают $BK=2AB$ вместо $BK=AB$.
Не указывают, почему треугольник $ABK$ является равнобедренным.
Путают углы при параллельных прямых и не объясняют равенство $\angle AKB$ и $\angle KAD$.