Решение: Равенство углов в четырёхугольнике
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $BCA$ и $BDA$ равны. Докажите, что углы $ABD$ и $ACD$ также равны.
Решение по шагам
4 шагаРассмотрим окружность, проходящую через точки $A$, $B$ и $C$. Угол $BCA$ является вписанным углом этой окружности и опирается на хорду $BA$.
По условию $\angle BCA = \angle BDA$. Так как четырёхугольник $ABCD$ выпуклый, точки $C$ и $D$ лежат по разные стороны от диагонали $AB$. Следовательно, точка $D$ также лежит на окружности, проходящей через $A$, $B$ и $C$. Значит, четырёхугольник $ABCD$ является вписанным.
В окружности углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны. Углы $ABD$ и $ACD$ опираются на хорду $AD$.
Следовательно, $\angle ABD = \angle ACD$.
$\angle ABD = \angle ACD$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать выпуклость четырёхугольника при доказательстве цикличности.
Ошибочно считать, что углы $BCA$ и $BDA$ опираются на хорду $CD$.
Не указать, на какую хорду опираются углы $ABD$ и $ACD$.