Решение: Площади треугольников в трапеции
На средней линии трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ выбрали произвольную точку $F$. Докажите, что сумма площадей треугольников $BFC$ и $AFD$ равна половине площади трапеции.
Решение по шагам
7 шаговОбозначим длины оснований трапеции $AD$ и $BC$ через $a$ и $b$, а её высоту — через $h$.
Так как $F$ лежит на средней линии трапеции, расстояние от точки $F$ до каждого из оснований равно половине высоты трапеции, то есть $\dfrac{h}{2}$.
Площадь треугольника $BFC$ найдём по основанию $BC$ и высоте $\dfrac{h}{2}$:
$$S_{BFC}=\frac{1}{2}\cdot b\cdot\frac{h}{2}=\frac{bh}{4}$$Аналогично найдём площадь треугольника $AFD$:
$$S_{AFD}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot\frac{h}{2}=\frac{ah}{4}$$Сложим площади треугольников:
$$S_{BFC}+S_{AFD}=\frac{bh}{4}+\frac{ah}{4}=\frac{(a+b)h}{4}$$Площадь трапеции равна $S_{ABCD}=\dfrac{(a+b)h}{2}$. Поэтому половина её площади равна:
$$\frac{1}{2}S_{ABCD}=\frac{(a+b)h}{4}$$Полученные выражения совпадают, следовательно, сумма площадей треугольников $BFC$ и $AFD$ равна половине площади трапеции.
Следовательно, $S_{BFC}+S_{AFD}=\dfrac{1}{2}S_{ABCD}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать высоту треугольников $BFC$ и $AFD$ равной высоте всей трапеции.
Забывать множитель $\dfrac{1}{2}$ в формуле площади треугольника.
Использовать длину средней линии вместо длин оснований при вычислении площадей треугольников.